Chapter3 三维空间刚体运动

旋转矩阵

1. 使用外积表示向量的旋转，因为两向量进行外积，可以得到垂直于这两个向量组成的平面的第三个向量，即已知两个维度可以推导出第三个维度，从而能够推导出物体在三维空间的6自由度。
2. 坐标系之间的欧式变换：有两个坐标系，一个为世界坐标系，一个机器人移动坐标系，两系之间存在一个向量，但是相对两系又各不相同，因此需要一个矩阵进行变换，即欧氏变换（长度和夹角不会变化，空间位置和姿态变化）

描述姿态的旋转和平移

旋转：
[ a 1 a 2 a 3 ] = [ e 1 T e 1 ′ e 1 T e 2 ′ e 1 T e 3 ′ e 2 T e 1 ′ e 2 T e 2 ′ e 2 T e 3 ′ e 3 T e 1 ′ e 3 T e 2 ′ e 3 T e 3 ′ ] [ a 1 ′ a 2 ′ a 3 ′ ] ≜ R a ′ . \begin{bmatrix}a_{1}\\\\a_{2}\\\\a_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{e}_{1}^{T}\boldsymbol{e}_{1}^{\prime}&\boldsymbol{e}_{1}^{T}\boldsymbol{e}_{2}^{\prime}&\boldsymbol{e}_{1}^{T}\boldsymbol{e}_{3}^{\prime}\\\boldsymbol{e}_{2}^{T}\boldsymbol{e}_{1}^{\prime}&\boldsymbol{e}_{2}^{T}\boldsymbol{e}_{2}^{\prime}&\boldsymbol{e}_{2}^{T}\boldsymbol{e}_{3}^{\prime}\\\boldsymbol{e}_{3}^{T}\boldsymbol{e}_{1}^{\prime}&\boldsymbol{e}_{3}^{T}\boldsymbol{e}_{2}^{\prime}&\boldsymbol{e}_{3}^{T}\boldsymbol{e}_{3}^{\prime}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1}^{\prime}\\\\a_{2}^{\prime}\\\\a_{3}^{\prime}\end{bmatrix}\triangleq\boldsymbol{R}\boldsymbol{a}^{\prime}. ​a1​a2​a3​​ ​= ​e1T​e1′​e2T​e1′​e3T​e1′​​e1T​e2′​e2T​e2′​e3T​e