最长上升子序列（LIS）

最长上升子序列(LIS)

前情提要

子串：连续的

子序列：非连续，但相对序的

抛出示例

1 5 2 3 9 5 2 4 等8个数a[8]

前1个数构成的LIS: 最长是1。 子序列为：1

前2个数构成的LIS: 最长是2。 子序列为：1 5

前3个数构成的LIS: 最长是2。 子序列为：1 5或1 2（但我们只考虑1 2）

前4个数构成的LIS: 最长是3。 子序列为：1 2 3

前5个数构成的LIS: 最长是4。 子序列为：1 2 3 9

前6个数构成的LIS: 最长是4。 子序列为：1 2 3 5

前7个数构成的LIS: 最长是2。 子序列为：1 2（此处的2是第七个位置的2）

前8个数构成的LIS: 最长是4。 子序列为：1 2 3 4

答案是8个数中最长的即4

我们发现8次计算中子序列最后一位数字是当前的数字a[i]，因为我们只考虑这个位置之前的，且比这个位置小的数

用dp[i] 表示前i个数字，以a[i]结尾的最长上升子序列

转移方程 dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1) 其中(1<=j<i且a[j]<a[i])

初始化 dp[i]表示前i个，但是如果前面没有比a[i]，小的，那么dp[i]=1,子序列：a[i]。即dp[i]的初始值为1

答案就是dp[i]中最大的一个数

解决算法O(n2)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5555;//一般只能几千数量级
ll a[N];
ll dp[N];
//dp[i]，表示前i个数字，
//以a[i]结尾的最长上升子序列长度
void solve()
{
    ll n,ans=0;cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        dp[i]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            if(a[j]<a[i])
            {
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
        }
        ans=max(ans,dp[i]);
    }
    cout<<ans;
}
int main()
{
    solve();
}

优化算法