最长上升子序列LIS 动态规划 二分查找算法

所谓LIS表示最长上升子序列，是面试的时候非常容易考察的问题。对于一个序列h1,h2,...hN,其中的子序列hi1,hi2,...hik，满足hi1<hi2<...<hik，那么这个子序列叫做上升子序列。那么如何求出最长的上升子序列呢？

最容易想到的办法是动态规划，其中它的复杂度是O(n^2)。我们设置dp[i]表示从0~i之内最长的上升子序列的长度。那么对于任意的索引j(0<=j<i)，如果height[j] < height[i] 且 dp[j] + 1 > dp[i]，那么就可以把dp[i]更新成dp[j]+1. 这是因为dp[j]表示的是从0到j中最长的上升子序列的长度，当height[i]>height[j]的时候，说明height[i]可以加到从0到j之内上升子序列的末尾形成新的子序列，这个上升子序列的长度是原来的长度+1.当超过了dp[i]的时候就更新dp[i]。

代码的实现如下所示：

int main(){
	int n;
	cin >> n;
	int height[1005];//height是存放序列高度的
	int dp[1005];//dp[i]表示索引i结尾的最大的上升子序列

	for (int i = 0; i < n; i++){
		cin >> height[i];
	}
	dp[0] = 1;//最左边的可以单独看成是一个上升子序列

	int ret = 0;
	for (int i = 1; i < n; i++){
		for (int j = 0; j < i; j++){
			if (height[i] > height[j] && dp[i] <= d