背包问题（二）

一、多重背包问题（单调队列优化）

这里有一个小问题，我还是有点疑问，当你选取的当前物品数量已经超过了当前物品的个数，但是体积还未超过背包容量，是否还会更新dp（下面是Al的回答）

现在，关于您提到的“选取的物品个数超过了当前物品的个数”的情况，实际上在代码中并不会发生。因为我们在更新dp[k]之前，会通过条件检查来确保不会违反物品的数量限制。具体来说，条件if (pp <= tt && k - s * v > q[pp])是用来检查队列头的状态是否对应了一个超过限制的容量（这里“超过限制的容量”实际上是指，如果从这个容量对应的物品数量开始继续考虑当前物品，那么将会违反物品的数量限制）。如果超过了，我们就移动队列头，直到找到一个不超过限制的容量或者队列为空。

我的思考是：当你选取的物品数量已经超过了当前物品的个数，但是体积还未超过背包容量，因为你是一个单调递减的队列，所以每次更新是基于对头更新的，队尾不会对对头造成影响。

#include<iostream>
#include<cstring> // 用于内存拷贝函数memcpy
using namespace std;
 
// 定义常量M，表示物品的最大数量乘以最大容量，用于数组大小
const int M = 20010;
 
// n表示物品种类数，m表示背包容量
int n,m;
// pre数组用于存储上一轮动态规划的状态，dp数组用于存储当前轮的状态
int pre[M],dp[M],q[M]; // q数组用于存储单调队列中的元素索引
 
int main()
{
    cin >> n >> m; // 输入物品种类数和背包容量
    for(int i = 0;i < n;i ++) // 遍历每种物品
    {
        memcpy(pre, dp, sizeof dp); // 将当前dp数组的状态复制到pre数组中，为下一轮动态规划做准备
        int v,w,s; // v表示物品体积，w表示物品价值，s表示该物品的最大数量
        cin >> v >> w >> s;
        for(int j = 0;j < v;j ++) // 由于物品数量s和体积v有关，这里通过遍历v的余数来优化状态转移
        {
            int pp = 0, tt = -1; // pp和tt分别表示单调队列的头和尾
            // 遍历所有可能的容量，k表示当前考虑的背包容量
            for(int k = j;k <= m;k += v)
            {
                // 如果队列头已经超出了s*v的限制（即队列头对应的物品数量超过了s），则移动队列头
                if(pp <= tt && k - s * v > q[pp])
                    pp ++;
                
                // 维护单调队列的性质，确保队列中的元素对应的dp值减去相应的成本（即(k - q[pp])/v * w）是递减的
                while(pp <= tt && pre[q[tt]] - (q[tt] - q[pp])/v * w <= pre[k] - (k - q[pp])/v * w)
                    tt --;
                
                // 如果队列不为空，则更新dp[k]为队列头元素对应的dp值加上当前物品的价值
                if(pp <= tt)
                    dp[k] = max(dp[k], pre[q[pp]] + (k - q[pp])/v * w);
                
                // 将当前容量k加入队列尾
                q[++ tt] = k;
            }
        }
    }
    cout << dp[m]; // 输出背包容量为m时的最大价值
    return 0;
}

二、庆功会

这个题就是上面的板子，每什么好说的

板子题链接

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int M = 20010;
int n,m;
int pre[M],dp[M],q[M];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0;i < n;i ++)
    {
        int v,w,s;
        cin >> v >> w >> s;
        memcpy(pre, dp, sizeof dp);
        for(int j = 0;j < v;j ++)
        {
            int pp = 0, tt = -1;
            for(int k = j;k <= m;k += v)
            {
                if(pp <= tt && k - s * v > q[pp])
                pp ++;
                
                while(pp <= tt && pre[q[tt]] - (q[tt] - q[pp])/v * w <= pre[k] - (k - q[pp])/v * w)
                tt --;
                
                if(pp <= tt)
                dp[k] = max(dp[k], pre[q[pp]] + (k - q[pp])/v * w);
                
                q[++ tt] = k;
            }
        }
    }
    cout << dp[m];
    return 0;
}

三、混合背包

题目链接

这里把01背包当场特殊的完全背包

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1100;
int f[N];
int n,m;

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v,w,s;
        cin >> v >> w >> s;
        if(!s)
        {
            for(int j = v;j <= m;j ++)
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
        }
        else
        {
            if(s == -1) s = 1;
            
            for(int k = 1;k <= s;k *= 2)//先枚举物品个数
            {
                for(int j = m;j >= k * v;j --)
                {
                    f[j] = max(f[j], f[j - k * v] + k * w);
                }
                s -= k;
            }
            
            for(int j = m;j >= s * v;j --)
            f[j] = max(f[j], f[j - s * v] + s * w);
        }
        
    }
    
    cout << f[m];
    return 0;
}