背包问题（四）

一、背包问题求方案数

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#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N];
int cnt[N];
int n,m;
const int mod = 1e9 + 7;

int main()
{
    int res = 0;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0;i <= m;i ++) cnt[i] = 1;//背包里面什么都不装也是一种方案
    
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        int v,w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = m;j >= v;j --)
        {
            int value = f[j - v] + w;
            if(value > f[j])
            {
                f[j] = value;
                cnt[j] = cnt[j - v];
            }
            else if(value == f[j])
            {
                cnt[j] = (cnt[j] + cnt[j - v]) % mod;
            }
        }
    }
    
    cout << cnt[m];
    return 0;
}

二、背包问题求具体方案

题目链接

这里和01背包不一样的地方就是01背包只需要得到价值最大并且背包恰好装满的情况，但是这里能量石会随着时间的耗散，能量逐渐减小，有可能为负值，所以你的最优解不一定是吃完所有的能量石，而是吃到某一个能量石的时候，你所获得的能量最大，后面的能量石也就是没吃

这里用到了贪心，也就是两个能量石不互换的话，吃完两个能量石所获得的能量最大，为什么呢？
Ei−t∗Li+Ej−(t+Si)∗Lj>=Ej−t∗Lj+Ei−(t+Sj)∗Li
整理后：
Si∗Lj<=Sj∗Li
𝑆𝑖∗𝐿𝑗<=𝑆𝑗∗𝐿𝑖
我们可以把跟𝑖
有关的放到一边，调整一下:
Si/Li<=Sj/Lj

#include <iostream>
 
using namespace std;
 
// 定义常数N，表示物品的最大数量
const int N = 1010;
 
// 定义全局变量
int n, m; // n表示物品数量，m表示背包的最大承重
int v[N], w[N]; // v[i]表示第i个物品的重量，w[i]表示第i个物品的价值
int f[N][N]; // f[i][j]表示前i个物品在总重量不超过j的情况下可以达到的最大价值
 
int main()
{
    // 输入物品数量n和背包最大承重m
    cin >> n >> m;
    // 输入每个物品的重量和价值
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];
 
    // 动态规划求解0-1背包问题
    // 注意这里我们从后往前遍历物品，是为了保证每个物品只被考虑一次（即0-1背包的特点）
    for (int i = n; i >= 1; i -- )
        for (int j = 0; j <= m; j ++ )
        {
            // 如果不选择当前物品i，则最大价值等于前一个物品i+1在相同重量下的最大价值
            f[i][j] = f[i + 1][j];
            // 如果选择当前物品i，并且当前重量j可以容纳该物品，则比较选择和不选择该物品的价值，取较大者
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i + 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
 
    // 输出最优解中所包含的物品
    // 这里我们从背包的最大承重m开始，逆向查找选择了哪些物品
    int j = m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        // 如果选择当前物品i可以使得总价值最大，则输出该物品编号，并更新剩余重量
        if (j >= v[i] && f[i][j] == f[i + 1][j - v[i]] + w[i])
        {
            cout << i << ' ';
            j -= v[i];
        }
 
    return 0;
}

三、能量石

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 110,M = 1e5 + 10;
int n,cnt;
int g[M];
struct Stone
{
    int s,e,l;
    bool operator < (const Stone& w) const 
    {
        return s * w.l < w.s * l;
    }
}f[N];



int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while(T --)
    {
        memset(g, -0x3f, sizeof g);
        
        cin >> n;
        int m = 0;
        for(int i = 1;i <= n;i ++)
        {
            int s,e,l;
            cin >> s >> e >> l;
            f[i] = {s,e,l};
            m += s;
        }
        
        sort(f + 1, f + n + 1);
        g[0] = 0;
        for(int i = 1;i <= n;i ++)
        {
            for(int j = m;j >= f[i].s;j --)
            g[j] = max(g[j], g[j - f[i].s] + max(0, f[i].e - (j - f[i].s) * f[i].l) );
        }
        int res = 0;
        for(int i = 1;i <= m;i ++) res = max(res, g[i]);
        printf("Case #%d: %d\n", ++cnt, res);
        
    }
    return 0;
}

四、金明的预算方案

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 65, M = 32100;
typedef pair<int,int> PII;
PII master[N];//主件
vector<PII> servent[N];//副件
int f[M];
int n,m;
#define v first
#define w second

int main()
{
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int v, p, q;
        cin >> v >> p >> q;
        p *= v;
        if (!q) master[i] = {v, p};
        else servent[q].push_back({v, p});
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int u = m;u >= 0;u --)
        {
            for(int j = 0;j < 1 << servent[i].size();j ++)
            {
                int w = master[i].w, v = master[i].v;
                for(int k = 0;k < servent[i].size();k ++)
                {
                    if(j >> k & 1)
                    {
                        w += servent[i][k].w;
                        v += servent[i][k].v; 
                    }
                }
                
                if(u >= v) f[u] = max(f[u], f[u - v] + w);
            }
        }
    cout << f[m];
    return 0;
}