背包问题（一）

01背包

一、01背包模板

还有个疑惑，为什么最大价值一定是背包装满的时候？
因为你背包装满的情况囊括了前面不装满的情况

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;
int f[N];
int n,m;
int v[N],w[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
        for(int j = m;j >= v[i];j --)
        f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
    
    cout << f[m];
    return 0;
}

二、采药

题目链接

这个题非常容易，套模板就行，把T当成体积，M当成物品个数

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010, M = 110;
int w[M], f[N], v[M];
int t, m;


int main()
{
    scanf("%d%d", &t, &m);
    
    for(int i = 1;i <= m;i ++) cin >> v[i] >> w[i] ;
    
    for(int i = 1;i <= m;i ++)
        for(int j = t;j >= v[i];j --)
        f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
    
    cout << f[t];
    
    return 0;
}

三、装箱问题

题目链接

这个题目也比较容易，我们之间把体积当成价值就行

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 20010;
int f[N], v[N];
int n, V;

int main()
{
    cin >> V >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    cin >> v[i];
    //箱子的空间就是价值
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
        for(int j = V;j >= v[i];j --)
        f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + v[i]);
        
    cout << V - f[V];
    
    return 0;
}

四、宠物小精灵之收服

题目链接

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010, M = 510;
int f[N][M];
int V1[N], V2[M];
int n, m, k;

int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    for(int i = 1;i <= k;i ++) cin >> V1[i] >> V2[i];
    
    for(int i = 1;i <= k;i ++)
        for(int v1 = n;v1 >= V1[i];v1 --)
        {
            for(int v2 = m - 1;v2 >= V2[i];v2 --)
            f[v1][v2] = max(f[v1][v2], f[v1 - V1[i]][v2 - V2[i]] + 1);
        }
    
    cout << f[n][m - 1] << ' ';
    
    int t = m - 1;
    while(t > 0 && f[n][t - 1] == f[n][t]) t --;
    cout << m - t;
    return 0;
}

五、数字组合

题目链接

这个题的难点在于初始化，你要求总和为M的方案数，而不是像上面的题目一样求从哪个状态过渡来的最大方案数，所以当你和为0的时候，你就要初始化此时方案数为1，因为你此时什么都不选也是一种方案

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n, m;
const int N = 10010;
int v[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++) cin >> v[i];
    
    f[0] = 1;
    
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    for(int j = m;j >= v[i];j --)
    f[j] += f[j - v[i]];//加上你从每个方案过渡来的情况

    
    cout << f[m];
    return 0;
}

完全背包

六、完全背包模板

题目链接

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N];
int v[N],w[N];
int n,m;

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
        for(int j = v[i];j <= m;j ++)
        f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
    cout << f[m];
}

七、买书

这个题也非常简单，就是套模板

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int a[5] = { 0,10,20,50,100};
int f[N];

int main()
{
    cin >> n;
    f[0] = 1;
    for(int i = 1;i <= 4;i ++)
    {
        for(int j = a[i];j <= n;j ++)
        f[j] += f[j - a[i]];
    }
    cout << f[n];
    return 0;
}

八、货币系统（简单版）

题目链接

这里有一个坑，会int会暴栈
其他都是搓模板

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 20, M = 3010;
typedef long long LL;
LL f[M];
int v[N];
int n,m;

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++) cin >> v[i];
    f[0] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    for(int j = 0;j <= m;j ++)
    if(j >= v[i])
    f[j] += f[j - v[i]];
    
    cout << f[m];
    return 0;
}

九、货币系统（进阶版）

题目链接

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 110, M = 25100;

int a[N],f[M];
int n;
int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while(t --)
    {
        cin >> n;
        for(int i = 0;i < n;i ++) cin >> a[i];
        
        memset(f, 0, sizeof f);
        f[0] = 1;//初始化当要表示0的和时候，0本身不能被丢掉,所以为真，被丢掉的元素为假
        sort(a, a + n);//先排序找最大的元素，以这个元素为“标准体积”
        int k = 0;
        int m = a[n - 1];
        
        for(int i = 0;i < n;i ++)
        {
            if(!f[a[i]]) k ++;//第一个数一定不能被表示出来
            for(int j = a[i];j <= m;j ++)
            f[j] |= f[j - a[i]];//一旦j这个和能够被前面的数表示出来，那么这个元素可以丢掉
        }
        cout << k << endl;
    }
    return 0;
}