三门问题~概率问题之反直觉

23级程序猿

已于 2023-11-07 07:12:41 修改

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分类专栏：三门文章标签：概率论

于 2023-11-06 20:21:39 首次发布

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情景导入：

原问题：

三门问题，又称蒙提霍尔问题，是源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔。

这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。

问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率？如果严格按照上述的条件的话，答案是会。换门的话，赢得汽车的机率是2/3。不换门的话，赢得汽车的机率是1/3。

这个问题的答案违反直觉，因为人们往往会认为，已经打开了一扇有山羊的门，所以汽车最有可能在那两扇未打开的门中。然而，如果我们按照这种逻辑思考，那么赢得汽车的机率就会降低。因此，我们应该选择换门，这样才有可能赢得汽车。

数学分析+实验证明：

若有A，B，C三个门

1，假设参赛者选择了A门

2，主持人选择的B门(主持人选的门里无车)

3，参赛者决定换不换门

从直觉上看这个概率不就是1/2吗，就剩两个门了。

但有时候看到的也不一定为真，容易掉入惯性思维的陷阱。

正所谓实践是检验真理的唯一标准，可以用代码模拟实验证明

C++的代码可以参考使用蒙特卡洛方法模拟三门问题（C语言）_三门问题c语言_小沐想秃头的博客-优快云博客

通过代码模拟实验可以看出来A 中奖的概率大约为1/3，换门的中奖几率约为2/3。

很显然概率并不是看起来的1/2，接下来用数学方法证明：

说到概率的计算就不得不提一下贝叶斯定理，不知道的可以去网上搜，

这里要用到贝叶斯公式：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)；

过程：

设主持人在参赛者选了A的基础上选择了B门为事件D；

我们要的答案是 P(A|D)=P(D|A)*P(A)/P(D);

P(A)=1/3;

P(D|A)=1/2; (表示A门有汽车的情况下，主持人选择B门的概率)

P(D)=1/2; (P(D)=P(D∣A)P(A)+P(D∣B)P(B)+P(D∣C)P(C))

则： P(A|D)=P(D|A)*P(A)/P(D) = (1/2 * 1/3) /1/2=1/3;

所以可知换门中奖给概率更高；

例题1：

题目

摸奖(开盒简单版）

时间限制：C/C++ 1000MS，其他语言 2000MS
内存限制：C/C++ 256MB，其他语言 512MB
难度：简单
出题人： asily

描述

泉此方去SOS团参加派对, 在派对上有一个抽奖活动, 凉宫春日是主持人, 凉宫春日说:“这里有n个奖盒, 只有一个奖品”, 泉此方成为了幸运观众, 他选择了第一块奖盒，而这时，知道哪个盒子里面藏有奖品的凉宫春日，打开了m个盒子，里面什么也没有。接着，凉宫春日走向泉此方说，“你现在还坚决选择第一块奖盒吗，要不要改变你的选择？
泉此方很想要奖品, 他想要最大化抽中奖的概率, 但这个问题难到泉此方了, 请你帮帮此方做出抉择

输入描述

输入有两个用空格隔开的正整数 n，m(3≤n≤109,0≤m<n−1)

输出描述

输出只有一个字符串表示你的选择
"YES"表示改变选择获奖概率最大
"NO"表示不换获奖概率大
“no thing”表示获奖概率一样大(当获奖概率一样大时请输出此项)

用例输入 1

3 1

用例输出 1

YES

题解

这个题概率的计算方法和上面的一样

算出如果不换门中奖的概率 P1=1/n;

则其他门中奖的总概率为P2=1-P1；

其他门中奖的数量：num=n-m-1；

则其他每个门中奖的概率：P3=P2/num;

设 x=P1-P3=1/n-(1-1/n)/(n-m-1)

假设n-m-1=n,此时x=1/n^2>0;

因为n-m-1>n,即减数减小，x>1/n^2>0;

所以无论n和m为何值换的中奖的概率更大

*不过要注意m=0的情况，当m=0时，概率相同

例题2：

题目

小飞棍又来喽~~（开盒困难版）

暂无标签

时间限制：C/C++ 1000MS，其他语言 2000MS
内存限制：C/C++ 256MB，其他语言 512MB
难度：简单
出题人： czhyyds

描述
众所周知，集训队的大家都喜欢小飞棍，但是很可惜小飞棍的数量并不够人手一只。
ll学长和mbd学长都想要小飞棍，但是小飞棍只剩一只了。于是，ll学长和mbd学长想通过游戏的方法获得小飞棍的所有权，游戏规则如下：
1 游戏中会有n个盒子，mbd学长会将小飞棍会随机放入一个盒子中。
2 ll学长锁定一个盒子后，mbd学长会打开m个没有装小飞棍的盒子（不能打开ll学长锁定的那个盒子）。
3 之后ll学长可以选择打开当前锁定的盒子或者换一个没有打开的盒子打开。
如果ll学长开出小飞棍，则小飞棍归ll学长所有，否则归mbd学长所有。你可以告诉ll学长他获得小飞棍的最大概率是多少吗？

输入描述

第一行输入两个数n(3<=n<=1000)和m(0<=m<n-1)。

输出描述

输出ll学长能开出小飞棍的最大概率（结果保留六位小数）。

用例输入 1