算法数论.2 (欧拉函数）

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1.欧拉函数

欧拉函数：求 1~N中与N互质的数的个数

公式：

证明如下：利用容斥原理

答案代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	while(n--){
		int a;
		cin>>a;
		LL res=a;
		for(int i=2;i*i<=a;i++){
			if(a%i==0){
				while(a%i==0) a/=i;//a能整除i
				res=res*(i-1)/i;//通分后的形式
			}
		}
		if(a>1) res=res*(a-1)/a;
		cout<<res<<endl;
	} 
	
	return 0;
}

2.筛法求欧拉函数（线性筛）

正整数 𝑛，求 1∼n 中每个数的欧拉函数之和

① p是质数， phi(p) = 1 - p

② i % p == 0, phi(p*i) = p * phi(i)

③ i % p != 0,  phi(p*i) = p*(1  - 1/p) + phi(i)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e7 + 10;

int primes[N], cnt;
int euler[N];
bool st[N];
//线性筛质数的变式
void get_eulers(int n){
    euler[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i ++){
        if(!st[i]){
            primes[cnt ++] = i;//①
            euler[i] = i - 1;//phi
        }
        for(int j = 0; primes[j] <= n/i; j ++ ){
            int t = primes[j] * i;
            st[t] = true;
            if(i % primes[j] == 0){
                euler[t] = euler[i] * primes[j];//②
                break;
            }
            euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);//③
        }
    }
}
int main(){
    int n;
    cin >> n;
    
    get_eulers(n);
    
    ll res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) res += euler[i];
    
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

3.快速幂 O(log b)

其实就是二进制计算！！！！！，b的二进制位置0不计入结果，1则计入结果

求解：快速求a^b % p   用pow会超时

任何数都可以用二进制表示，把b用二进制表示

b = 2^0 + 2^1 +....+26logb

a^b = a^(2^0 + 2^1 +....+26logb)    对数的运算法则

       = a^2^0 * a^2^1 *......

解释：若 b 不为空，则进入循环； 判读二进制b的末尾是否为1（是否为奇数），若是证明二进制表示该位需要乘，则res结果乘了；只要进入了循环则a更新下一位 

LL qmi(LL a, LL b, LL p){
    while(b){
        
        if(b & 1) res = res * a % p;//二进制末位为1 要乘
        b >>= 1;//右移
        a =a * a % p;//a^(2^0), a^(2^1)...乘上当前本身得到下一个
    }
    return res;
}

acwing 快速幂

4.快速幂求逆元

逆元定义：

若整数 b，m 互质，并且对于任意的整数 𝑎，如果满足 𝑏|𝑎，则存在一个整数 x，使得 )𝑎/𝑏≡𝑎×𝑥(mod𝑚)，则称 𝑥 为 𝑏 的模 𝑚 乘法逆元，记为 𝑏^−1(mod𝑚)。

𝑏 存在乘法逆元的充要条件是 𝑏 与模数 𝑚 互质。当模数 𝑚 为质数时，𝑏^𝑚−2 即为 𝑏 的乘法逆元。

要求解本题，先要了解一下费马定理：

如果b和p互质，则b的p-1次方模p等于1

从而，本质上是求一个快速幂。。。。。。。

b,p不互质 无解，b是p的倍数

原题链接

qmi(a, p - 2, p)