算法数论（质数和约数）

数论1（指数和约数）.算法

0.算术基本定理

这是基础，先掌握

1.质数

1.1试除法判断质数（O(sqrt(n))

1不是质数， 根据性质，在2 ~sqrt(x)中，若有x可以整除的数则不是质数。

模板

bool is_prime(int x){
    if(x == 1) return false;
    for(int i = 2; i <= x/i; i ++){
        if(x % i == 0) return false;
    } 
    return true;
}

1.2试除法求质因子

题目：给定 n𝑛 个正整数 𝑎𝑖，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。

①：x中至多只有一个大于根号n的因数；反证法：若有两个则a1 * a2大于n,不满足因数乘积小于等于n

②：i一定是质数。反证法：假如 i 是一个合数，那么它一定可以分解成多个质因子相乘的形式，这多个质因子同时也是 a 的质因子且比 i 要小，而比 i 小的数*在之前的循环过程中一定是被条件除完了的*，所以 i 不可能是合数，只可能是质数

③特判大于根号n的质因数

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, a;

int divide(int x){
    for(int i = 2; i <= x/i; i ++){//①
        if(x % i == 0){//②
            int t = 0;//指数
            while(x % i == 0) x = x / i, t ++;//找x里面有几个i
            cout << i << " " << t<<endl;
        }
    }
    if(x > 1) cout << x << " "<< 1<<endl;//③
    cout << endl;
}

int main(){
    cin >> n ;
    while(n --){
        cin >> a;
        divide(a);
    }
    return 0;
}

1.3筛质数

埃氏筛法

筛掉倍数 例如一组数：2 3 4 5 6 7 8 9 …

4 6 8 9都是前面的倍数，故若p不被筛掉，则2~ p-1中无p的因数，所以p是质数；所以剩下的是质因数

`

int get_prime(){
    for(int i = 2; i <= n; i ++){
        if(!st[i]){
            p[cnt++] = i;//记录质数
            for(int j = i; j <= n; j+=i) st[j] = true;//标记筛掉的数
        }
    }
    return cnt;
}

`

2.约数

2.1试除法求约数O(n*根号n)

求x的所有约数，即能被x整除的数；如果i是x的约数，那么n/i也必为x的约数。从而得到了优化。即只要循环遍历1-n/i的数

vector<int> get_divisors(int x){
    vector<int> res;
    for(int i = 1; i <= x/i ; i ++){
        if(x%i == 0){
            res.push_back(i);
            if(i != x/i) res.push_back(x/i);//去重
        }
    }
    sort(res.begin(), res.end());
    return res;
}

2.2约数个数

约数个数：若干质因子次方加一的乘积。

思路：用哈希表存储质因子和指数。最后遍历结果。

​ 存储质因子时用上面的试除法。。。

******一个小知识：在int范围内，最多的约数个数大概为1500个

由算术基本定理，每一个数都可以写成若干质因子次方乘积。如下图：

约数个数：若干质因子次方加一的乘积。

证明省略，详见y总–证明

例题：

给定 𝑛 个正整数 𝑎𝑖，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 1e9+7 取模。

输入格式

第一行包含整数 𝑛。

接下来 𝑛 行，每行包含一个整数 𝑎𝑖。

输出格式

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 10e9+7 取模。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
int n, x;

int main(){
    cin >> n;
    
    unordered_map<int,int> primes;//存放质因数即指数
    while(n --){
        cin >> x;
        for(int i = 2; i <= x/i; i ++){//试除法因式分解
            while(x % i == 0){
                x /= i;
                primes[i]++;
            }
        }
        if(x > 1) primes[x] ++;//特判 最多出现一个大于根号x的质数（前面有证明）
    }
    ll res = 1;
    for(auto prime : primes) res = res * (prime.second + 1) % M;//结论直接用
    cout << res;
    return 0;
}

2.3约数之和

考虑一个质因数p的e次方的所有约数之和：

那么多个，则为所有可能情况的乘积：

例题：题解

给定 𝑛 个正整数 𝑎𝑖，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对 1e9+7 取模。

输入格式

第一行包含整数 𝑛。

接下来 𝑛 行，每行包含一个整数 𝑎𝑖。

输出格式

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 10e9+7 取模。

关键部分，求各部分的

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
int n, x;

int main(){
    cin >> n;
    
    unordered_map<int,int> primes;//存放质因数即指数
    while(n --){
        cin >> x;
        for(int i = 2; i <= x/i; i ++){//试除法因式分解
            while(x % i == 0){
                x /= i;
                primes[i]++;
            }
        }
        if(x > 1) primes[x] ++;//特判 最多出现一个大于根号x的质数（前面有证明）
    }
    ll res = 1;
    for(auto prime : primes){
        int p = prime.first, a = prime.second;
        ll t = 1;
        while( a--){
            t = (t*p + 1) %M;//求每一部分的和
        }
        res = res * t % M;//乘入结果
    }
    cout << res;
    return 0;
}

2.4欧几里得（辗转相除法）求最大公约数

整除与除以的区别：24 ÷ 6 = 4指24能被6整除； 24 除以 6 等于4

内容：较大数除以较小数得到商和余数，再用除数和余数反复做除法运算，当余数为0时，取当前算式除数为最大公约数。

证明：

a, b(a> b)

a = b* q + r(q 为商， r 为余数)

设 d是a, b的一个公约数，那么a = md, b = nd;

带入 md = nd*q + r; r = (m - nq) * d.即d也是r 的一个约数。

所以求a, b的最大公约数即求 b, r的最大公约数

gcd（a,b) = gcd(b, amod b)

法一：公式__gcd(a,b)

c++自带函数1122ms, 比赛时省事就直接用函数吧。。。。。

法二：自写函数gcd(a,b)

1156ms

int gcd(int a, int b){
    return b ? gcd(b, a%b):a;
}

r = (m - nq) * d.即d也是r 的一个约数。

所以求a, b的最大公约数即求 b, r的最大公约数

gcd（a,b) = gcd(b, amod b)

法一：公式__gcd(a,b)

c++自带函数1122ms, 比赛时省事就直接用函数吧。。。。。

法二：自写函数gcd(a,b)

1156ms

int gcd(int a, int b){
    return b ? gcd(b, a%b):a;
}