信号与系统第二章学习（五）

第二章 连续系统的时域分析

2.1连续系统的建立——电路图建立微分方程

本章研究对象就是线性时不变连续系统

Z2.1连续系统的描述：电路图建立微分方程

1.数学模型

 

1. 电路分析

考虑一个简单的RLC串联电路，包含电阻 RR、电感 LL 和电容 CC。根据基尔霍夫电压定律，电路中的总电压降等于激励电压 us(t)us​(t)。因此，我们可以写出：

其中：

•  是电阻上的电压，

•   是电感上的电压，

•   是电容上的电压。

2. 元件电压-电流关系

根据电路元件的电压-电流关系：

• 电阻：

• 电感：

• 电容：

3. 代入KVL方程

将元件的电压-电流关系代入KVL方程：

4. 微分方程

为了消除积分，我们对整个方程对时间 t 求导：

由于 ​，我们可以将用  表示：

简化后得到：

这就是第一个方程：

5. 初始条件

初始条件 分别表示电容电压及其一阶导数在 时刻的值。

6. 一般形式的微分方程

将上述方程写成一般形式的二阶常系数线性微分方程：

其中：

这就是第二个方程。

总结

通过基尔霍夫电压定律和元件的电压-电流关系，我们得到了描述RLC电路行为的二阶常系数线性微分方程。这个方程可以用来分析电路在不同激励下的响应。

2.相似系统

相似系统：能用相同方程描述的系统。

Z2.2 微分方程的模拟框图

1.基本部件

基本运算：数乘、微分、相加

基本部件：加法器、数乘器（放大器）、积分器

• 加法器：

• 数乘器：

• 积分器：积分器的抗干扰比微分器好

2.模拟框图

模拟框图：将微分方程用基本部件的相互连接表征出来的图，简称框图。

绘制步骤为：

1. 先画出两个积分器；
2. 以最后一个积分器的输出端为y(t);
3. 左边第一个积分器的输入端就是y''(t), 也是加法器的输出。

 

引入辅助函数 x(t)x(t) 的目的是为了简化原微分方程的处理，特别是当方程的右边包含输入函数 f(t)f(t) 的导数时。以下是详细解释为什么辅助函数要那样列方程：

1. 原方程的复杂性

原方程为：

这个方程的右边包含了 f(t) 的导数 f′(t)，这使得直接求解y(t) 变得复杂，因为我们需要处理 f′(t) 的影响。

2. 引入辅助函数的目的

为了简化问题，我们引入一个辅助函数x(t)，使得：

这个方程描述了一个更简单的系统，其输入是 f(t)，输出是x(t)。通过这种方式，我们可以将原方程中的 f(t) 和 f′(t)的影响分离出来。

3. 表达 y(t) 与 x(t) 的关系

假设 y(t)可以表示为 x(t)及其导数的线性组合：

这个假设基于原方程中 f(t)和 f′(t) 的系数。通过这种表示，我们可以将 y(t) 的表达式中包含 f′(t)的部分转化为 x′(t)。

4. 验证关系的正确性

为了验证这个假设的正确性，我们将 y(t)=4x′(t)+x(t) 代入原方程：

y′′(t)+3y′(t)+2y(t)=4f′(t)+f(t)

通过一系列的推导和简化，我们发现这个假设是成立的。这表明通过引入辅助函数 x(t)，我们可以将原方程转化为一个更易处理的形式。

5. 简化系统分析

通过引入辅助函数x(t)，我们将原系统分解为两个部分：

• 一个子系统，其输入为f(t)，输出为x(t)。

• 另一个子系统，其输入为x(t) 和 x′(t)，输出为 y(t)=4x′(t)+x(t)。

这种分解使得我们可以分别分析和处理每个子系统，从而简化了整个系统的分析和设计。

总结

引入辅助函数 x(t)x(t) 的目的是为了将原方程中的复杂项（特别是f′(t)）分离出来，使得我们可以更容易地处理和分析系统。通过这种方式，我们可以将原系统分解为更简单的子系统，从而简化整个系统的分析和设计过程。