蓝桥杯C++基础算法-差分

这段代码的核心思路是利用差分数组来高效处理区间更新操作，并最终恢复数组的值。差分数组是一种非常高效的数据结构，特别适合处理频繁的区间加法操作。以下是代码的详细思路解析：

---

1. 问题背景

假设有一个数组 a，长度为 n，我们需要对数组的某个区间 [l, r] 进行加法操作，即将区间 [l, r] 内的所有元素增加一个常数 c。直接对每个区间进行操作会导致每次操作的时间复杂度为 O(n)，效率较低。为了优化区间更新操作，可以使用差分数组技术。

---

2. 差分数组的概念

差分数组 b 是一个辅助数组，其中 b[i] 表示原数组 a 中从第 i 个元素到第 i+1 个元素的变化量。通过差分数组，可以高效地完成区间加法操作：

• 对区间 [l, r] 增加 c，只需要在差分数组中进行两次操作：

  • b[l] += c：表示从第 l 个元素开始增加 c。

  • b[r + 1] -= c：表示从第 r + 1 个元素开始减少 c，以抵消前面的增加操作。

通过这种方式，每次区间更新操作的时间复杂度为 O(1)。

---

3. 代码逻辑解析

(1) 输入部分

cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];

• 用户输入数组的长度 n 和操作次数 m。

• 接着输入数组 a 的每个元素。数组 a 的索引从 1 开始，方便后续计算。

(2) 差分数组的初始化

for (int i = 1; i <= n; i++) insert(i, i, a[i]);

• 使用 insert 函数将原数组 a 的每个元素初始化到差分数组 b 中。

• 对于每个 a[i]，调用 insert(i, i, a[i])，将 a[i] 的值加到 b[i] 上。

• 这一步实际上是将原数组 a 转换为差分数组 b。

(3) 区间更新操作

while (m--)
{
    int l, r, c;
    cin >> l >> r >> c;
    insert(l, r, c);
}

• 用户输入操作的区间 [l, r] 和增加值 c。

• 调用 insert 函数对差分数组 b 进行更新：

  • b[l] += c：从第 l 个元素开始增加 c。

  • b[r + 1] -= c：从第 r + 1 个元素开始减少 c，以抵消前面的增加操作。

(4) 恢复原数组

for (int i = 1; i <= n; i++) b[i] += b[i - 1];

• 通过差分数组 b 恢复最终的数组值：

  • b[i] += b[i - 1]：将差分数组的值累加到当前元素上，恢复原数组的值。

  • 这一步实际上是将差分数组 b 转换回原数组。

(5) 输出结果

for (int i = 1; i <= n; i++) cout << b[i] << ' ';

• 输出最终的数组值，每个元素之间用空格分隔。

---

4. 代码效率分析

• 时间复杂度：

  • 初始化差分数组的时间复杂度为 O(n)。

  • 每次区间更新操作的时间复杂度为 O(1)。

  • 恢复原数组的时间复杂度为 O(n)。

  • 总时间复杂度为 O(n + m)，其中 n 是数组长度，m 是操作次数。

• 空间复杂度：

  • 使用了一个额外的差分数组 b，空间复杂度为 O(n)。

---

5. 示例运行

输入：

5 3
1 2 3 4 5
1 3 2
2 4 3
3 5 1

运行过程：

1. 输入数组长度 n = 5 和操作次数 m = 3。

2. 输入数组 a = [1, 2, 3, 4, 5]。

3. 初始化差分数组 b：

   • b = [1, 1, 1, 1, 1, 0]（初始值为原数组的差分值）。

4. 执行操作：

   • 操作 1：insert(1, 3, 2)，b = [3, 1, 1, -1, 1, 0]。

   • 操作 2：insert(2, 4, 3)，b = [3, 4, 1, -4, 1, 0]。

   • 操作 3：insert(3, 5, 1)，b = [3, 4, 2, -4, 2, 0]。

5. 恢复原数组：

   • b = [3, 7, 9, 5, 7]。

6. 输出结果：

   3 7 9 8 6

---

6. 总结

这段代码的核心思路是通过差分数组技术，将区间更新操作的时间复杂度从 O(n) 优化到 O(1)。通过预先计算一个差分数组 b，可以高效地完成多次区间加法操作，并在最后通过累加恢复原数组的值。这种方法特别适用于需要频繁对数组区间进行加法操作

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c)
{
	b[l] += c;
	b[r + 1] -= c;
} 


int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		cin >> a[i];
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		insert(i, i, a[i]);
	while(m --)
	{
		int l, r, c;
		cin>>l>>r>>c;
		insert(l, r, c);
	}
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		b[i] += b[i - 1];
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		cout<<b[i]<<' ';
	return 0;

} 

的场景。