分治法因数和

因数和

现在有这样一个问题：求 $A$ 的所有约数之和 $mod$ $15143$。

把 $A$ 分解质因数，表示为 $p_1^{c_1}\ast p_2^{c_2}\ast p_3^{c_3}\ast ...\ast p_n^{c_n}$ 。那么根据乘法分配律， $A$ 的约数之和就是：$(1+p_1+p_1^2+...+p_1^{c_1})\ast (1+p_2+p_2^2+...+p_2^{c_2})\ast ...\ast (1+p_n+p_n^2+...+p_n^{c_n})$ 。

当数据规模较小的时候，我们可以直接用求和公式计算出来然后取模。

当数据规模较大的时候，为了防止计算过程中整数溢出，有两种解决方法：

1. 在求和公式中引入逆元，进而实现除法取模。
2. 使用分治法求等比数列之和，下面给出证明。

令 $sum(p,c)=1+p+p^2+...+p^c$ 。

若 $c$ 为奇数： $sum(p,c)=(1+p+p^2+...+p^{\frac{c-1}{2}})+(p^{\frac{c+1}{2}}+...+p^c)$

$=(1+p+p^2+...+p^{\frac{c-1}{2}})+p^{\frac{c+1}{2}}\ast (1+p+p^2+...+p^{\frac{c-1}{2}})$

$=(1+p^{\frac{c+1}{2}})\ast sum(p,\frac{c-1}{2})$ 。

若 $c$ 为奇数：$sum(p,c)=(1+p^{\frac{c}{2}})\ast sum(p,\frac{c}{2}-1)+p^c$。