【抽代复习笔记】06-“关系”与“分类”

1、关系

 

定义1：设A是一个集合，D = {对，错}，定义R：A×A(A与A的笛卡尔积)→D为“A上的一个关系”。

当“R(a,b) = 对”时，称a与b有关系R，记为aRb；

当“R(a,b) = 错”时，称a与b没有关系R。(a,b∈A)

 

定义2：设A是一个非空子集，A×A的子集R1为“A上的一个关系”，对任意的(a,b)∈A×A，当(a,b)∈R1时，称a与b有关系R1，当(a,b)不属于R1时，则称a与b没有关系R1。

 

【上面两个定义是等价的。】

证：（1）设A是一个非空数集，D={对，错}，

定义R：A×A→D是A上的一个关系，有定义1知，对于任意的(a,b)∈A×A，

若R(a,b) = 对，则称a与b有关系R，当R(a,b) = 错，则a与b没有关系R，

那么反过来，我们取“对”在R下的原像组成的集合为R1，即

根据映射的定义，显然R1是A的子集，

那么对于任意的(a,b)∈A×A，当(a,b)∈R1时，a与b有关系R1（或者是有关系R），当(a,b)不属于R1时，称a与b没有关系R1（或者没有关系R），

这就推导出了定义2。

（2）设A是一个非空数集，R1是A的一个子集，定义R为从A×A→D的一个映射，且对任意的(a,b)∈A×A，当(a,b)∈R1时，R(a,b) = 对，当(a,b)不属于R1时，R(a,b) = 错，

也就是说，当a与b有关系R1时，R(a,b) = 对，当a与b没有关系R1时，R(a,b) = 错，

根据映射的定义，反过来也可以说，当R(a,b) = 对时，a与b有关系R1（或者说是有关系R），当R(a,b) = 错时，a与b没有关系R1（或者说是没有关系R），这就推导出了定义1。

综上所述，定义1与定义2是等价的。

 

定义3：设∽是A上的一个关系，若∽满足：

1. 自反性：a∽a(反射律)。
2. 对称性：若a∽b，则b∽a(对称律)。
3. 传递性：若a∽b，b∽c，则a∽c(推移律)。

则称∽为A上的一个等价关系，若a∽b，则a与b等价。

 

定理1：代数系统间的同构关系是一个等价关系。

 

2、分类

定义4：假设A是一个集合，S = {Si|Si是A的子集}，若：

1. ∪Si = A；
2. 对任意的i≠j，都有Si∩Sj = 空集。

那么称S为A的一个“分类”（或者称为“划分”），每一个Si都称为S的一个“类”或者“块”。

 

定理2：A的分类决定A的一个等价关系

证：假设S是A的一个分类，定义一个A上的关系 ~ 为：对任意的a,b∈A，a~b(a与b有关系~)当且仅当a,b属于S中的同一个类中。

下面验证~是一个等价关系：

1. 当a∈Si时，显然a~a(因为a与它自身肯定在同一个类中)，因此满足了“自反性”。
2. 当a~b，根据定义有a,b∈Si，因此也有b~a，所以也满足了“对称性”。
3. 当a~b,b~c时，显然a,b,c∈Si，因此也有a~c，所以也满足“传递性”。

因此根据定义可知~是一个等价关系。

因此A的分类决定了A的一个等价关系。

 

定理3：A上的一个等价关系决定了A的一个分类。

证：以“同乡关系”为例，假设A表示一个班的学生，而对于A中的任意两个同学a,b，a和b有关系~当且仅当a和b来自同一个省份，首先验证这个关系是一个等价关系：

1. a~a(a和它自身肯定来自同一个省份)，满足“自反性”；
2. a~b，则a与b来自同一个省份，因此也有b~a，满足“对称性”；
3. a~b,b~c，则a和b来自同一省，且b和c来自同一省，所以a和c也来自同一省，即有a~c，满足了“传递性”。

根据定义，由此可知~是一个等价关系。

将A这个班按照省份进行的划分，A中来自同一个省份的同学组成一个“类”，显然类与类之间的交集是空集（因为同一个同学不可能来自两个省），并且所有类的并集就构成了A这个班集体，因此这个划分满足分类的定义。

所以说A上的一个等价关系决定了A的一个分类。

 

定义5：设S = {Si|Si为A的子集}是集合A的一个分类，任意一个a∈Si都叫做类Si的一个代表，刚好由每一类的一个代表组成的集合叫做一个“全体代表团”。

 

例题：设Z是整数集，定义关系R5为：aR5b (a和b有关系R5) 当且仅当 5|(a-b)（5整除(a-b)）。

首先验证R5是Z上的一个等价关系，其次再写出此等价关系下的所有等价类。

解：（1）1.对任意a∈Z，由于5|(a-a=0)，所以aR5a，满足“自反性”；

2.对于任意的a,b∈Z，若aR5b，即5|(a-b)，那么必有5|(b-a)，因此可得bR5a，满足“对称性”；

3.对于任意的a,b,c∈Z，若aR5b,bR5c，则有5|(a-b)且5|(b-c)，因此有5|[(a-b)+(b-c)=(a-c)]，所以aR5c，满足“传递性”。

因此由定义知R5是一个等价关系。

（2）显然当用5除a所得的余数、与用5除b所得的余数相同时，才有5|(a-b)，

由于5的余数只有0,1,2,3,4五种，因此在此等价关系下的等价类有：

[0] = {0,-5,5,-10,10,.....} = 5Z，

[1] = {...,-9,-4,1,6,11,...} = 5Z+1，

[2] = {...,-8,-3,2,7,12,...} = 5Z+2，

[3] = {...,-7,-2,3,8,13,...} = 5Z+3，

[4] = {...,-6,-1,4,9,14,...} = 5Z+4，

【[k]表示用5去除数a所得余数为k的所有数a组成的集合】

上述等价类也叫做“模5的剩余类”。

0,1,2,3,4是每一个类的代表元，0,1,2,3,4构成了一个全体代表团。

 

更一般地，对于任意的正整数m>1，在Z上，我们可以定义关系Rm为：a Rm b当且仅当m|(a-b);

则Rm是Z上的一个等价关系，其等价类的集合可以表示为{[0],[1],[2],...,[m-1]}.

这些等价类也叫做“模m的剩余类”。

这是一个很重要的集合，后面会多次用到。

 

 

例：有人认为如果一个关系R适合对称律和推移律（对称性和传递性），那么它也适合反射律（自反性）。他的推论方法是：因为R适合对称律，所以aRb → bRa，因为R适合推移律，因此由aRb,bRa可推出aRa。

这个推论方法有什么问题？

解：自反性要求对于A中任意的元素a都有aRa，但是上述推论只有当aRb时，才有aRa，当a与b没有关系R时，未必有aRa，因此上述推论中推出的aRa中的a未必包含A中任意的元素。

反例：设A={π,π/2}，定义aRb当且仅当a,b互补，

显然π/2 R π/2 → π/2 R π/2（满足“对称性”），

π/2 R π/2,π/2 R π/2 → π/2 R π/2（满足“传递性”），

但是π与π不互补、没有关系R，因此不满足“自反性”。

 

(待续......)