【抽代复习笔记】04-关于变换以及同态的三个重要定理

1、变换

一个从A到A的映射叫做“A的一个变换”。

 

定理：变换的复合适合结合律。

证：设T为A上所有变换的集合，对任意的f,g,h ∈ T，和任意的x∈A，都有：

[(f o g) o h](x) = (f o g)[h(x)] = f{g[h(x)]}，

[f o (g o h)](x) = f[(g o h)(x)] = f{g[h(x)]}，

所以有：(f o g) o h = f o (g o h)

因此对于A上任意的变换f,g,h，它们的复合适合结合律。

 

例题：设A为正实数集，A1为实数集，找一个从A到A1的一一映射。

解：例如y = ln(x)，在这个映射中，x的取值范围（即该映射的定义域）为正实数集，即为A；

y的取值范围（即该映射的值域）为(-∞，+∞)，即为A1.

并且，对于任意的x∈A，都存在y∈A1，使得y = ln(x)，因此由映射的定义可知y = ln(x)是一个映射；

同时，对于任意的y∈A1，都存在x∈A，使得y = ln(x)，因此y = ln(x)是一个满射；

再者，假设x1,x2∈A，且有ln(x1) = ln(x2)，那么由对数函数的严格单调性，必可以推出x1=x2，因此y = ln(x)是一个单射。

综上所述，y = ln(x)是从A到A1的一个一一映射（既是单射又是满射）

 

2、同态

定义：假设(A,o)和(A1,o1)是两个代数系统，如果满足以下两个条件——

1、存在从A到A1的一个映射f，对于任意的a,b∈A，都有f(a o b) = f(a)  o1  f(b)，那么就称f为从A到A1的一个同态映射；

2、如果存在至少一个从A到A1的满同态映射（是满射的同态映射），那么就称A和A1是同态的，记为A∽A1.

 

定理1：设(A,o)、(A1,o1)是两个代数系统，若A∽A1(A与A1同态)，则

1、若o适合结合律，那么o1也适合；

2、若o适合交换律，那么o1也适合。

证明：

1、因为A与A1同态，因此存在一个从A到A1的满同态映射f，

由于是满射，所以对于任意的a1,b1,c1∈A1，都存在a,b,c∈A，使得f(a) = a1，f(b) = b1，f(c) = c1,

而f是同态映射，因而由定义可得：

(f(a) o1 f(b)) o1 f(c) = f(a o b) o1 f(c) = f((a o b) o c) =(o满足结合律) f(a o (b o c)) = f(a) o1 f(b o c) = f(a) o1 (f(b) o1 f(c))

因此o1也适合结合律。

2、应用（1）中的f，有f(a) o1 f(b) = f(a o b) =(o适合交换律) f(b o a) = f(b) o1 f(a)，因此o1也适合交换律。

 

定理2：设两个代数系统(A,⊙,⊕)、(A1,⊙1,⊕1)，f是从A到A1的满射，若对任意的a,b∈A，都有：f(a⊙b) = f(a) ⊙1 f(b)，f(a⊕b) = f(a) ⊕1 f(b)，那么如果⊙、⊕适合左右分配律，那么⊙1、⊕1也适合。

证明：

设f是从A到A1的满射，对任意的a,b,c∈A，都有：

f(b) ⊙1 (f(a) ⊕1 f(c)) = f(b) ⊙1 f(a⊕c) = f(b⊙(a⊕c)) =(⊙与⊕适合左分配律)= f((b⊙a)⊕(b⊙c)) = f(b⊙a) ⊕1 f(b⊙c) = (f(b) ⊙1 f(a)) ⊕1 (f(b) ⊙1 f(c))

这就证明了⊙1和⊕1也适合左分配律。

右分配律可以用同样的方法证明。

 

定理3：设(A,o)、(A1,o1)、(A2,o2)为三个代数系统，那么如果A与A1同态，A1与A2同态，则有A与A2同态。

证明：因为A与A1同态，A1与A2同态，因此存在从A到A1的满同态映射f，以及从A1到A2的满同态映射g，

由于f和g都是满射，因此由前面关于复合映射部分的知识可知，(g o f)也是满射，

对任意的a,b∈A，有(g o f)(a o b) = g[f(a o b)] = g[f(a) o1 f(b)] = g[f(a)] o2 g[f(b)] = (g o f)(a) o2 (g o f)(b)，

这就证明了A与A2也是同态的。

 

（待续......）