线代 -- 期末（不完整）

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文章标签： 学习 线性代数
于 2023-06-13 17:31:14 首次发布
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填空题4'×6        选择 4'×4        解答 12'×5

第六章：20-30分        第七章：5分

行列式4\times 4        线性方程 5\times 5        特征值3\times 3

12分：求a_{1},a_{2},..,a_{s}得极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表出

        i) 写成列向量形式

        ii) 用初等行变换，化成行阶梯形

        iii) 非0行第一个非0元素所在得列所对应的向量所构成的向量组即其极大无关组 

12分：求Ax=0的通解

        i)写出系数矩阵，化成阶梯型

        ii)写出等价方程组

        iii)找自由变元

        iv)取值找解向量 （n-r(A)）

        v)找通解 \forall k_{1},k_{2}...\in R,\xi =k_{1}\xi _{1}+k_{2}\xi _{2}...

12分：求A的特征值与特征向量

可以验证一下特征值

        \lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\cdots =\left | A \right |

        \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}+\cdots =Tr(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}+\cdots

12分：判断矩阵是否能对角化，然后对角化。

或者：A是对称矩阵，求正交矩阵P，使得A对角化，并写出对角化的矩阵

12分：4*4的矩阵，施密特正交化，正交化&单位化

        求特征值        求特征向量        正交化        单位化

        P^{-1}AP=\begin{bmatrix} \lambda _{1} & & & \\ & \lambda _{2}& & \\ & & \cdots & \\ & & & \lambda _{n} \end{bmatrix}=\Lambda

选择题：矩阵能对角化有不同的特征值（即可能特征值是相同的）

              特征值不相同的矩阵一定能对角化

小题：二次型&矩阵的相互对应

(不确定)给一组向量，判断线性相关&无关，k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+...=0

(不确定但大概率用不上)思路：证明A=B,一般证明A\geq B且A\leq B

对称：a_{ij}=a_{ji}

反对称： a_{ij}=-a_{ji}

正交矩阵的逆矩阵是它的转置

应该不考：若Ax=0有非0解，且r(A)=r,且基础解系有(n-r)个向量构成

                     A_{n\times m}=0              r(A)=r                               (m-r)

                     Ax=0                                                          (n-r(A))

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