48、优化方法：从单目标到多目标的MATLAB实现

优化方法：从单目标到多目标的MATLAB实现

1. 齿轮非线性约束问题

在优化问题中，齿轮的设计常常需要满足一系列的约束条件。以下是一个用MATLAB实现的齿轮非线性约束函数：

function [C, Ceq] = GearNonLinConstr(x)
C(1) = 1/(x(1)*x(2)^2*x(3))-1/27;
C(2) = 1/(x(1)*x(2)^2*x(3)^2)-1/397.5;
C(3) = x(4)^3/(x(2)*x(3)*x(6)^4)-1/1.93;
C(4) = x(5)^3/(x(2)*x(3)*x(7)^4)-1/1.93;
C(5) = sqrt((745*x(4)/(x(2)*x(3)))^2+16.9*10^6)/(0.1*x(6)^3)-1100;
C(6) = sqrt((745*x(5)/(x(2)*x(3)))^2+157.5*10^6)/(0.1*x(7)^3)-850;
C(7) = x(2)*x(3)-40;
Ceq = [];

执行该函数后，得到以下结果：
- (x(1) = 3.5 \text{ cm})
- (x(2) = 0.7)
- (x(3) = 17)
- (x(4) = 7.3 \text{ cm})
- (x(5) = 7.7153 \text{ cm})
- (x(6) = 3.3502 \text{ cm})
- (x(7) = 5.2867 \text{ cm})
- 体积 (= 2994.3413 \text{ cm}^3)

2. 二次规划

二次规划是一类特殊的约束优化问题，其中目标函数是二次的，约束条件是线性的。其数学表达式为：
[
\begin{align }
\min_{x} f&= 0.5x^T Hx + c^T x\
\text{s.t. } Ax &\leq b\
A_{eq}x &= b_{eq}\
lb &\leq x \leq ub
\end{align }
]
其中，(H)、(A) 和 (A_{eq}) 是矩阵，(c)、(b)、(b_{eq})、(lb) 和 (ub) 是列向量。

在MATLAB中，可以使用 quadprog 函数来求解这类问题，其语法如下：

[xopt, fopt] = quadprog(H, c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)

2.1 参数说明

• xopt ：最优解向量
• fopt ：最优目标函数值
• H ：对称矩阵，二次目标函数的系数矩阵
• c ：向量，二次目标函数的线性系数向量
• A 和 b ：线性不等式约束的系数矩阵和向量
• Aeq 和 beq ：线性等式约束的系数矩阵和向量
• lb 和 ub ：设计变量的下界和上界向量
• x0 ：起始点向量
• options ：设置优化参数

2.2 示例：生产计划问题

考虑一个生产计划问题，产品A和B的利润是各自生产数量的函数。目标是最小化以下目标函数：
[
f(x_1, x_2) = -(4 + 2x_1 + 3x_2)x_1 - (5 + 5x_1 + 4x_2)x_2
]
约束条件为：
[
\begin{cases}
x_1 + x_2 \leq 200\
1.25x_1 + 0.75x_2 \leq 200\
x_2 \leq 150\
x_1, x_2 \geq 0
\end{cases}
]
以下是MATLAB代码实现：

H = [-4, -8; -8, -8];
c = [-4;-5];
A = [1, 1; 1.25, 0.75; 0, 1];
b = [200; 200; 150];
options = optimset('LargeScale', 'off');
[x, P] = quadprog(H, c, A, b, [], [], [0, 0], [], [], options);
disp(['x1 = ' num2str(x(1)) ' x2 = ' num2str(x(2)) ' Profit = $' num2str(-P)])

执行结果：
- (x_1 = 50)
- (x_2 = 150)
- 利润 (= $155950)

3. 半无限约束方法

半无限约束方法用于求解一类优化问题，其数学表达式为：
[
\begin{align }
\min_{x} f(x)\
\text{s.t. } Ax &\leq b\
A_{eq}x &= b_{eq}\
C(x) &\leq 0\
C_{eq}(x) &= 0\
K_n(x, w_n) &\leq 0, \forall w_n \in \Omega_n
\end{align }
]
其中，(x) 是设计变量向量，(f(x)) 是标量目标函数，(A)、(A_{eq})、(C) 和 (C_{eq}) 分别表示线性不等式约束、线性等式约束、非线性不等式约束和非线性等式约束，(K_n(x, w_n)) 是半无限约束函数，(w_n) 是自由变量。

在MATLAB中，可以使用 fseminf 函数来求解这类问题，其语法如下：

[xopt, fxopt] = fseminf(@UserFunction, x0, n, @SemiConstr, A, b, Aeq, Beq, lb, ub, options, p1, p2, ...)

3.1 参数说明

• xopt ：最优解向量
• fxopt ：最优目标函数值
• @UserFunction ：计算标量函数 (f(x)) 的函数句柄
• x0 ：起始点向量
• n ：半无限约束的数量
• @SemiConstr ：定义非线性约束的函数句柄
• A 、 b 、 Aeq 、 Beq 、 lb 、 ub 和 options ：与 quadprog 函数中的参数类似
• p1 、 p2 等：传递给 UserFunction 和 SemiConstr 的额外参数

3.2 示例：平面两连杆机械臂

考虑一个平面两连杆机械臂，其设计目标是最大化工作空间面积。设计变量为两个连杆的长度 (a) 和 (b)，约束条件包括：
- (0.1 \leq a \leq 2)
- (0.1 \leq b \leq 2)
- (1.1 \leq \frac{a}{b} \leq 2)
- 灵巧度指标 (\kappa \leq 1.26)

以下是MATLAB代码实现：

function Example13_17
[x,A] = fseminf(@TwoLinkObjFunc, [1, 1], 1, @TwoLinkConstr, [], [], [], [], [.1, 0.1], [2, 2]);
[xx, kap] = fminbnd(@Kappa, 100*pi/180, 150*pi/180, [], x);
disp(['a = ' num2str(x(1)) ' b = ' num2str(x(2)) ' Workspace area = ' num2str(-A)])
disp(['kappa = ' num2str(kap+1.26) ' at theta = ' num2str(xx*180/pi) ' degrees'])
text(120, 1.17, 'Initial')
text(110, 1.05, 'Optimum')
ylabel('Condition number \kappa')
xlabel('\theta (\circ)')
text(120, 1.25, ['\kappa_{min} occurs at \theta = ' num2str(xx*180/pi,5) '\circ'])
axis([100 150 1 1.30])

function [C, Ceq, K1, s] = TwoLinkConstr(x, s)
if isnan(s(1,1))
    s = [2, 0];
end
ab = x(1)/x(2);
C(1) = -ab+1.1;
C(2) = ab-2;
Ceq = [];
theta = (100:s(1,1):150);
K1 = Kappa(theta*pi/180, x);
plot(theta, K1+1.26, 'k')
hold on

function f = TwoLinkObjFunc(x)
f = -pi*((x(1)+x(2))^2-(x(1)-x(2))^2);

function k = Kappa(theta, x)
k = (x(1)^2+2* x(2)^2+2*(x(1)*x(2))*cos(theta))./(2*(x(1)*x(2))*sin(theta))-1.26;

执行结果：
- (a = 2)
- (b = 1.4433)
- 工作空间面积 (= 36.274)
- 当 (\theta = 134.9882^{\circ}) 时，(\kappa = 1.0004)

3.3 流程说明

graph LR
    A[开始] --> B[定义目标函数和约束函数]
    B --> C[设置初始参数]
    C --> D[调用fseminf函数求解]
    D --> E[输出结果]
    E --> F[结束]

4. 多目标优化

多目标优化是指求解具有多个设计目标的问题，这些目标之间至少部分相互冲突。在多目标优化中，通常不存在一个可以同时优化所有目标的解，而是存在一组被称为帕累托最优解（Pareto optimal solutions）的解，这些解构成了帕累托前沿（Pareto frontier）。

4.1 帕累托最优解和帕累托前沿

帕累托最优解是指在不恶化至少一个其他目标的情况下，无法进一步改善任何目标的解。帕累托前沿是所有帕累托最优解的集合，它代表了在给定约束条件下可以实现的“最佳”结果。

4.2 MATLAB中的多目标优化函数

MATLAB提供了两个函数来解决多目标问题： fminimax 和 fgoalattain 。

4.2.1 fminimax 函数

fminimax 函数用于求解以下问题：
[
\begin{align }
\min_{x} \max_{f} {f_1, f_2, \cdots, f_m}\
\text{s.t. } Ax &\leq b\
A_{eq}x &= b_{eq}\
C(x) &\leq 0\
C_{eq}(x) &= 0\
lb &\leq x \leq ub
\end{align }
]
其语法如下：

[xopt, fxopt] = fminimax(@UserFunction, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, @NonLinConstr, options, p1, p2, ...)

4.2.2 fgoalattain 函数

fgoalattain 函数用于求解以下问题：
[
\begin{align }
\max_{x, g} g\
\text{s.t. } f_i(x) - v_i g &\leq (goal) i, i = 1, \cdots, m\
Ax &\leq b\
A {eq}x &= b_{eq}\
C(x) &\leq 0\
C_{eq}(x) &= 0\
lb &\leq x \leq ub
\end{align }
]
其中，(g) 是一个无符号的标量变量，(f_i(x)) 是第 (i) 个目标函数，(v_i) 和 ((goal)_i) 分别是第 (i) 个目标函数的权重系数和目标值。

其语法如下：

x = fgoalattain(@UserFunction, x0, Goal, Weight, A, b, Aeq, beq, lb, ub, @NonLinConstr, options, p1, p2, ...)

4.3 示例：振动平台

考虑一个振动平台系统，设计目标是最小化以下两个目标：
1. 梁的基频的负值 (-f_1)
2. 梁的材料成本 (f_2)

约束条件包括梁的质量上限、各层厚度的上下限等。

以下是MATLAB代码实现：

function Example13_18
x0 = [0.3, 0.35, 0.4, 5, 0.4];
lb = [0.05, 0.2, 0.2, 0.35, 3];
ub = [0.5, 0.5, 0.6, 0.5, 6];
E = [1.6, 70, 200]*10^9;
Rho = [100, 2770, 7780];
c = [500, 1500, 800];
G = [500, 100];
A = [1 -1 0 0 0; -1 1 0 0 0; 0 1 -1 0 0; 0 -1 1 0 0];
b = [0 0.15 0 0.01]';
for k = 1:5
    B = [100 + k*10, 500 - k*50];
    [xopt, fxopt] = fminimax(@VibPlatformObj, x0, A, b, [], [], lb, ub, @VibPlatNLConstr, [], E, Rho, c, G, B);
    ff = fxopt.*(B - G) + G;
    f1(k) = ff(1);
    f2(k) = ff(2);
end
[f2sort, indxf2] = sort(f2);
f1sort = f1(indxf2);
plot(-f1sort, f2sort, 'ko-');
xlabel('Negative frequency (Hz)');
ylabel('Cost ($)');

function [EI, mu] = BeamProperties(x, E, Rho)
EI = (2*x(4)/3)*(E(1)*x(1)^3 + E(2)*(x(2)^3 - x(1)^3) + E(3)*(x(3)^3 - x(2)^3));
mu = 2*x(4)*(Rho(1)*x(1) + Rho(2)*(x(2) - x(1)) + Rho(3)*(x(3) - x(2)));

function [C, Ceq] = VibPlatNLConstr(x, E, Rho, c, G, B)
[EI, mu] = BeamProperties(x, E, Rho);
C(1) = mu*x(5) - 2800;
Ceq = [];

function f = VibPlatformObj(x, E, Rho, c, G, B)
[EI, mu] = BeamProperties(x, E, Rho);
f1 = pi/(2*x(5)^2)*sqrt(EI/mu);
f(1) = (f1 - G(1))/(B(1) - G(1));
f2 = 2*x(4)*(c(1)*x(1) + c(2)*(x(2) - x(1)) + c(3)*(x(3) - x(2)));
f(2) = (f2 - G(2))/(B(2) - G(2));

执行该代码后，可以得到振动平台的帕累托前沿。

4.4 示例：生产计划问题

重新考虑生产计划问题，引入第二个设计目标：最大化产品A的生产数量。目标函数和约束条件如下：
[
\begin{align }
\min_{x_1, x_2} f_1(x_1, x_2) &= -4x_1 - 5x_2\
\min_{x_1} f_2(x_1) &= -x_1\
\text{s.t. } x_1 + x_2 &\leq 200\
1.25x_1 + 0.75x_2 &\leq 200\
x_2 &\leq 150\
x_1, x_2 &\geq 0
\end{align }
]
以下是MATLAB代码实现：

A = [1, 1; 1.25, 0.75; 0, 1];
b = [200, 200, 150]';
goal = [-950, -50];
x0 = [50, 50];
lb = [0, 0];
ub = [inf, inf];
Weight = abs(goal);
options = optimset('GoalsExactAchieve', 2);
ProdPlanObj = inline('[-4*x(1)-5*x(2), -x(1)]', 'x');
[x, fxopt] = fgoalattain(ProdPlanObj, x0, goal, Weight, A, b, [], [], lb, ub, [], options);
disp(['x1 = ' num2str(x(1)) ' x2 = ' num2str(x(2)) ' f1 = ' num2str(fxopt(1)) ' f2 = ' num2str(fxopt(2))])

4.5 流程说明

graph LR
    A[开始] --> B[定义多个目标函数和约束条件]
    B --> C[选择优化方法（fminimax或fgoalattain）]
    C --> D[设置初始参数]
    D --> E[调用相应函数求解]
    E --> F[输出帕累托前沿或最优解]
    F --> G[结束]

综上所述，本文介绍了多种优化方法，包括二次规划、半无限约束方法和多目标优化方法，并通过具体的示例展示了如何在MATLAB中实现这些方法。这些方法在工程设计、生产计划等领域具有广泛的应用。

5. 方法对比与选择

5.1 不同优化方法的特点

优化方法	目标函数特点	约束条件特点	适用场景
二次规划	二次函数	线性约束	目标函数为二次且约束线性的问题，如生产计划中利润与产量为二次关系的问题
半无限约束方法	无特定要求	包含半无限约束	约束条件需在某个变量的一定范围内都满足的问题，如机械臂的角度范围约束问题
多目标优化	多个目标函数	线性或非线性约束	存在多个相互冲突目标的问题，如振动平台的频率和成本优化问题

5.2 选择合适优化方法的步骤

graph LR
    A[明确问题] --> B[分析目标函数类型]
    B --> C{目标函数是二次吗}
    C -- 是 --> D{约束条件是线性吗}
    D -- 是 --> E[选择二次规划]
    C -- 否 --> F{是否有半无限约束}
    F -- 是 --> G[选择半无限约束方法]
    F -- 否 --> H{是否有多个目标}
    H -- 是 --> I[选择多目标优化]
    D -- 否 --> H
    G --> J[结束]
    E --> J
    I --> J

6. 注意事项与技巧

6.1 初始参数设置

• 起始点选择 ：对于 quadprog 、 fseminf 、 fminimax 和 fgoalattain 等函数，起始点 x0 的选择会影响求解的速度和结果。一般可以根据问题的物理意义或经验来选择一个合理的起始点。例如，在生产计划问题中，可以根据历史生产数据来确定起始点。
• 上下界设置 ： lb 和 ub 要根据实际问题合理设置。如果设置不合理，可能会导致无解或得到不符合实际的解。比如在振动平台问题中，各层厚度和长度的上下界要根据材料和结构的实际限制来确定。

6.2 优化参数调整

• options 参数 ：不同的优化函数有不同的 options 参数可以设置。例如，在 quadprog 中，可以通过 options = optimset('LargeScale', 'off') 来关闭大规模问题求解模式。在实际应用中，可以根据问题的规模和特点来调整这些参数，以提高求解效率。
• 权重系数和目标值 ：在多目标优化的 fgoalattain 函数中，权重系数 Weight 和目标值 Goal 的设置会影响最终的解。可以根据不同目标的重要程度来调整权重系数，以达到不同的优化效果。

6.3 代码调试与验证

• 代码检查 ：在编写代码时，要仔细检查目标函数和约束条件的实现是否正确。可以通过手动计算一些简单的情况来验证代码的正确性。例如，在振动平台问题中，可以先计算一些特殊情况下的频率和成本，然后与代码的输出进行比较。
• 结果验证 ：得到优化结果后，要对结果进行验证。可以检查结果是否满足所有的约束条件，是否符合实际问题的物理意义。例如，在机械臂问题中，检查计算得到的工作空间面积和灵巧度指标是否合理。

7. 实际应用拓展

7.1 工程设计领域

• 结构设计 ：在飞机机翼、桥梁等结构设计中，可以使用多目标优化方法来同时优化结构的重量、强度和刚度等多个目标。例如，通过调整结构的尺寸和材料分布，在满足强度和刚度要求的前提下，尽量减轻结构的重量。
• 机械设计 ：在机械零件的设计中，如齿轮、轴等，可以使用二次规划或半无限约束方法来优化零件的尺寸和性能。例如，在齿轮设计中，通过优化齿轮的模数、齿数等参数，提高齿轮的承载能力和传动效率。

7.2 生产管理领域

• 生产计划 ：在企业的生产计划中，可以使用二次规划和多目标优化方法来合理安排产品的生产数量和生产顺序，以最大化利润、最小化成本和满足交货期等多个目标。例如，在生产多种产品时，根据市场需求和生产能力，确定每种产品的最优生产数量。
• 库存管理 ：在库存管理中，可以使用优化方法来确定最优的库存水平和补货策略，以最小化库存成本和缺货损失。例如，通过考虑需求的不确定性和补货提前期，使用半无限约束方法来确定库存的上下限。

7.3 能源管理领域

• 电力系统优化 ：在电力系统中，可以使用多目标优化方法来优化发电计划、电网调度和负荷分配等，以提高电力系统的可靠性、经济性和环保性。例如，通过调整不同发电设备的发电功率，在满足电力需求的前提下，最小化发电成本和污染物排放。
• 能源存储系统设计 ：在能源存储系统的设计中，如电池储能系统，可以使用二次规划和半无限约束方法来优化储能系统的容量、充放电策略等，以提高能源利用效率和降低成本。

8. 总结

本文详细介绍了多种优化方法，包括齿轮非线性约束优化、二次规划、半无限约束方法和多目标优化方法，并通过具体的示例展示了如何在MATLAB中实现这些方法。在实际应用中，需要根据问题的特点选择合适的优化方法，并注意初始参数设置、优化参数调整和代码调试验证等方面的问题。这些优化方法在工程设计、生产管理、能源管理等多个领域都具有广泛的应用前景，可以帮助我们在复杂的问题中找到最优或近似最优的解决方案。

希望本文能够为读者在优化问题的求解和应用方面提供一些帮助和启示。如果读者在实际应用中遇到问题，可以根据本文介绍的方法和步骤进行分析和解决。