7、脉冲系统的模型预测控制及其在1型糖尿病中的应用

脉冲系统的模型预测控制及其在1型糖尿病中的应用

在许多生物医学应用中，药物通常以离散的小脉冲或冲激形式给予患者。例如在人工胰腺（AP）问题中，胰岛素可以通过多种方式注射给患者。本文将详细介绍脉冲系统的相关理论，以及基于此的模型预测控制（MPC）策略，并以1型糖尿病（T1DM）为例进行案例研究。

1. 短时长输入的动态系统

在生物医学应用里，药物给药方式常为离散脉冲形式。以胰岛素注射为例，常见的输入建模方式是零阶保持器，但这与实际情况不符，因为胰岛素泵无法做到在整个周期内保持恒定速率。实际上，胰岛素剂量是以短脉冲形式给予的，当这些脉冲持续时间相对于周期极短时，可近似为冲激。

考虑如下仿射连续时间系统：
[
\begin{cases}
\dot{x}(t) = Ax(t) + B_uu(t) + B_rr(t) + E, & x(0) = x_0 \
y(t) = Cx(t)
\end{cases}
]
其中，(x)表示状态，(u)为控制动作，(y)是系统输出，(r)为干扰，(A)、(B_u)、(C)和(B_r)为相应矩阵，(E)为常数项。若药物输注(u)仅在特定时刻(kT)（(T)为固定周期，(k \in \mathbb{Z})）快速注入系统，则可采用脉冲系统框架进行分析。假设输入为：
[
u(t) = u(kT)\delta(t - kT), \quad t \in [kT, (k + 1)T), k \in \mathbb{Z}
]
其中，(\delta(t))为狄拉克δ函数，满足(\delta(0) = \infty)，(\delta(t) = 0)（(t \