[数论][莫比乌斯反演][杜教筛] BZOJ 3512: DZY Loves Math IV

本文探讨了一个复杂的数论求和问题，通过引入杜教筛等技巧，详细推导了解决该问题的方法，并附带提供了完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

$Description$

求

\sum i = 1 n \sum j = 1 m φ (i j)

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\varphi(ij)$

$Solution$

好强的题
设

S (n, m) = \sum i = 1 m φ (n i)

$S(n,m) =\sum_{i=1}^m\varphi(ni)$
当

|μ(n)|=1 $|\mu(n)|=1$ 时

φ (n i) = φ (i) \sum d | (n, i) φ (n d)

$\begin{eqnarray}\varphi(ni)=\varphi(i)\sum_{d|(n,i)}\varphi({n\over d})\end{eqnarray}$ 这个东西为什么别人都觉得那么显然啊QAQ。。。想了一节生物课。。
令

D=(i,n) $D=(i,n)$ ，

φ(i) $\varphi(i)$ 已经把

i $i$ 的所有质因子的

(1−1pj) $(1-{1\over p_j})$ 全部贡献掉了，还贡献了

i $i$ ，后面那个东西可以考虑贡献了

p∈{p是质数|(p∣n)∧(p∤i)} $p\in\{p是质数|(p\mid n)\wedge(p\nmid i)\}$ 的

(1−1pj) $(1-{1\over p_j})$ 以及一个

nD(φ∗1)(D) ${n\over D}(\varphi*1)(D)$ 。。
所以就有

φ (n i) = = = = φ (i) \sum d | (n, k) φ (n d) \sum i = 1 m \sum d ∣ (n, k) φ (i) φ (n d) \sum d ∣ n φ (n d) \sum i = 1 ⌊ m d ⌋ φ (d i) \sum d ∣ n φ (n d) S (d, ⌊ m d ⌋)

$\begin{eqnarray}\varphi(ni)&=&\varphi(i)\sum_{d|(n,k)}\varphi({n\over d})\\ &=& \sum_{i=1}^m\sum_{d\mid(n,k)}\varphi(i)\varphi({n\over d})\\ &=&\sum_{d\mid n}\varphi({n\over d})\sum_{i=1}^{\lfloor{m\over d}\rfloor}\varphi(di)\\ &=&\sum_{d\mid n}\varphi({n\over d})S(d,\lfloor{m\over d}\rfloor)\end{eqnarray}$ 当

μ(n)=0 $\mu(n)=0$ 时令

k=∏ipi $k=\prod_i p_i$ 那么

S (n, m) = n S ( k , m ) k

$S(n,m)={{nS(k,m)}\over k}$ 当

n=1 $n=1$ 时就是杜教筛

φ $\varphi$ 的前缀和啦。

S (1, m) = m ( m + 1 ) 2 - \sum i = 2 m S (1, ⌊ m i ⌋)

$S(1,m)={m(m+1)\over2}-\sum_{i=2}^mS(1,\lfloor{m\over i}\rfloor)$ 到这里就完成啦。
~~啊啊啊啊啊一开始我把模数和线性筛打错了QAQ~~

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef pair<int, int> Pairs;
typedef long long ll;
const int N = 1010101;
const int MOD = 1000000007;

inline char get(void) {
  static char buf[100000], *S = buf, *T = buf;
  if (S == T) {
    T = (S = buf) + fread(buf, 1, 100000, stdin);
    if (S == T) return EOF;
  }
  return *S++;
}
template<typename T>
inline void read(T &x) {
  static char c; x = 0; int sgn = 0;
  for (c = get(); c < '0' || c > '9'; c = get()) if (c == '-') sgn = 1;
  for (; c >= '0' && c <= '9'; c = get()) x = x * 10 + c - '0';
  if (sgn) x = -x;
}

int phi[N], pre[N], mx[N], mu[N];
int prime[N], vis[N];
int n, m, Pcnt, lim, ans;
map<Pairs, int> mp;

inline void Add(int &x, int a) {
  x = (x + a) % MOD;
}
inline void Pre(int n) {
  mu[1] = 1; phi[1] = 1; mx[1] = 1; int x;
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    if (!vis[i]) {
      phi[i] = i - 1; mu[i] = 1;
      mx[i] = i; prime[++Pcnt] = i;
    }
    for (int j = 1; j <= Pcnt && (x = prime[j] * i) <= n; j++) {
      vis[x] = 1;
      if (i % prime[j]) {
    phi[x] = phi[i] * phi[prime[j]];
    mu[x] = -mu[i]; mx[x] = mx[i] * prime[j];
      } else {
    phi[x] = phi[i] * prime[j];
    mu[x] = 0; mx[x] = mx[i]; break;
      }
    }
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    pre[i] = (pre[i - 1] + phi[i]) % MOD;
}
inline int S(int n, int m) {
  int res, pos;
  if (!n || !m) return 0;
  if (n == 1 && m <= lim) return pre[m];
  if (mp.count(Pairs(n, m))) return mp[Pairs(n, m)];
  if (n == 1) {
    res = (ll)m * (m + 1) / 2 % MOD % MOD;
    for (int i = 2; i <= m; i = pos + 1) {
      pos = m / (m / i);
      Add(res, MOD - (ll)S(1, m / i) * (pos - i + 1) % MOD);
    }
  } else if (mu[n] == 0){
    res = (ll)n / mx[n] * S(mx[n], m) % MOD;
  } else {
    res = 0; int d;
    for (d = 1; d * d < n; d++) {
      if (n % d) continue;
      Add(res, (ll)phi[n / d] * S(d, m / d) % MOD);
      Add(res, (ll)phi[d] * S(n / d, m / (n / d)) % MOD);
    }
    if (d * d == n) Add(res, (ll)phi[d] * S(d, m / d) % MOD);
  }
  return mp[Pairs(n, m)] = res;
}

int main(void) {
  freopen("1.in", "r", stdin);
  freopen("1.out", "w", stdout);
  read(n); read(m);
  Pre(lim = max(n, (int)pow(m, 0.666)));
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    Add(ans, S(i, m));
  cout << ans << endl;
  return 0;
}