【HDU】5151 Sit Sit Sit(区间DP+排列组合)

本文探讨了一道关于区间DP的问题,通过分析数学排列组合原理,提出了利用组合思想解决问题的策略。详细介绍了如何通过固定位置和计算组合数来优化状态转移方程,最终实现了高效求解。案例分析和代码实现提供了深入理解该问题解决方案的途径。

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题目大意:可以查阅网站的中文翻译,就不说了,是第24场Best Coder

思路:

这道这道区间DP,我也开始觉得其实区间DP是一种应用型的思想,做这类题目一个重要的点是在于题目情景的把握,这道题的一个情景就是数学的排列组合问题.

首先应用根据小区间推出大区间的思路,我们可以先固定一个位置k,k位置是最后做的位置,那么我们要算出在这种情况下符合的方法数,假如k是头或者尾,那不用说,

此时的方法为dp[i+1][j]或者是dp[i][j-1];

假如k是有邻居的,那我们就要考虑邻居的颜色,如果颜色不同,那么方法便是0,否则的话,可以根据排列组合的方法,方法数自然等于dp[i][k-1]*dp[k+1][j]*X;

这个X便是考你对于情景的理解,i-k-1以及k+1-j这两个区间之内已经是各自相对有序做好的位置,那在形成一组的时候我们也要保证相对有序

这里我们用组合的思想进行分析:

首先总共有j-i个位置(因为不考虑k位置),那么我们有两个各自相对有序的数组要合二为一,问最终有多少种不同的序列。

这边我一开始的想法便是用插空法,但一直过不了,小的数据过的去,大的数据过不去,我猜应该是在大数据的时候数据溢出了,因为插空的思想准没错。

所以这边退而求其次,还记得组合当中有所谓的什么元素法还有位置法,你可以一开始固定元素去插,也可以固定位置去排。

这边我们选择固定位置,一开始为k-i个元素选择好位置,那另外一组数的位置自然也固定了。

这边也牵扯到一个十分重要的思想:便是我们在考虑两个变量的时候,可能会由于各自运算的时间可能刚好符合给的限定时间,假如合起来的话会超过。

这时候我们不妨寻找两个变量之间的关系,从而只做一个数,从关系当中,推出另外一个数,这是一种十分有效,并且能够突破思维的方法。(蓝桥杯的教训)

给出状态转移方程:dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i][k-1]*dp[k+1][j]*c[j-i][k-i])

AC代码:

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
long long c[110][110];
int s[110];
long long dp[110][110];
int main()
{
	int n;
	int l;
	for (int i = 1; i < 110; i++)
	{
		c[i][0] = c[i][i] = 1;
		for (int j = 1; j < i; j++)
			c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % MOD;
	}
	while (cin >> n)
	{
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		memset(s, -1, sizeof(s));
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			scanf("%d", &s[i]);
			dp[i][i] = 1;
		}
		for (int i = 1; i + 1 <= n; i++)
			dp[i][i + 1] = 2;
		for (int len = 2; len < n;len++)
		for (int i = 1; i + len <= n; i++)
		{
			
			int j = i + len;
			dp[i][j] = dp[i][j] + dp[i + 1][j];
			dp[i][j] = dp[i][j] + dp[i][j - 1];
			dp[i][j] %= MOD;
			for (int k = i+1; k <j;k++)
			if (s[k - 1] == s[k + 1])
				dp[i][j] = (dp[i][j] + (dp[i][k - 1] * dp[k + 1][j] % MOD*c[j - i][k - i]) % MOD) % MOD;
		}
		cout << dp[1][n] << endl;
	}
}

### HDU OJ 排列组合问题解法 排列组合问题是算法竞赛中的常见题型之一,涉及数学基础以及高效的实现技巧。以下是关于如何解决此类问题的一些通用方法和具体实例。 #### 数学基础知识 在处理排列组合问题时,需要熟悉以下几个基本概念: - **阶乘计算**:用于求解全排列的数量 $ n! = n \times (n-1) \times ... \times 1 $[^4]。 - **组合数公式**:$ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ 表示从 $ n $ 中选取 $ k $ 的方案数[^5]。 - **快速幂运算**:当涉及到模运算时,可以利用费马小定理优化逆元的计算[^6]。 #### 题目推荐与分析 以下是一些典型的 HDU OJ 上的排列组合题目及其可能的解法: ##### 1. 基础排列组合计数 - **HDU 2039 近似数** - 描述:给定两个整数 $ a $ 和 $ b $,统计区间内的近似数数量。 - 方法:通过枚举每一位上的可能性来构建合法数字并计数[^7]。 ```cpp #include <iostream> using namespace std; long long comb(int n, int r){ if(r > n || r < 0)return 0; long long res=1; for(int i=1;i<=r;i++)res=res*(n-i+1)/i; return res; } int main(){ int t,n,k; cin>>t; while(t--){ cin>>n>>k; cout<<comb(n+k-1,k)<<endl; // 组合数应用 } } ``` ##### 2. 动态规划的应用 - **HDU 1028 Ignatius and the Princess III** - 描述:给出正整数 $ m $ 和 $ n $,问有多少种方式把 $ m $ 分成最多 $ n $ 份。 - 方法:定义状态转移方程 $ dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-i] $ 来表示当前总和为 $ j $ 并分成至多 $ i $ 份的情况数目[^8]。 ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN=1e3+5; long long c[MAXN][MAXN]; void init(){ memset(c,0,sizeof(c)); c[0][0]=1; for(int i=1;i<MAXN;i++){ c[i][0]=c[i][i]=1; for(int j=1;j<i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%(1e9+7); } } int main(){ init(); int T,m,n; scanf("%d",&T); while(T--){ scanf("%d%d",&m,&n); printf("%lld\n",c[m+n-1][min(m,n)]); } } ``` #### 总结 针对不同类型的排列组合问题,可以选择合适的工具和技术加以应对。无论是简单的直接计算还是复杂的动态规划模型,都需要扎实的基础知识作为支撑。
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