欧拉函数(转)

对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。例如euler(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。
Euler函数表达通式：euler(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1,p2……pn为x的所有素因数，x是不为0的整数。euler(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。
欧拉公式的延伸：一个数的所有质因子之和是euler(n)*n/2。
欧拉函数性质：
1. euler(1) = 1;
2. 若n是素数p的k次幂，euler(n) = p^k - p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1)
3. 若m, n互质，euler(m*n) = euler(n) * euler(m)

欧拉函数递推式：
令p为N的最小质因数，若P^2|N， euler(N) = euler(N/p) * p；否则euler(N) = euler(N/p) * (p-1)

//方法1：直接求解欧拉函数  
int euler(int n){ //返回euler(n)   
     int res=n,a=n;  
     for(int i=2;i*i<=a;i++){  
         if(a%i==0){  
             res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出   
             while(a%i==0) a/=i;  
         }  
     }  
     if(a>1) res=res/a*(a-1);  
     return res;  
}  

//方法2：筛选法打欧拉函数表   
#define Max 1000001  
int euler[Max];  
void Init(){   
     euler[1]=1;  
     for(int i=2;i<Max;i++)  
       euler[i]=i;  
     for(int i=2;i<Max;i++)  
        if(euler[i]==i)  
           for(int j=i;j<Max;j+=i)  
              euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出   
} 

//方法3
void getPhi() {
    for (int i = 1; i < Max; i++) {
        minDiv[i] = i;
    }
    for (int i = 2; i*i < Max; i++){
        if (minDiv[i] == i){
            for (int j = i*i; j < Max; j += i){
                minDiv[j] = i;
            }
        }
    }
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i < Max; i++) {
        phi[i] = phi[i / minDiv[i]];
        if ((i / minDiv[i]) % minDiv[i] == 0){
            phi[i] *= minDiv[i];
        } else {
            phi[i] *= minDiv[i] - 1;
        }
    }
}