筛法，欧拉函数，递推（帮帮Tomisu，uva 11440）

最新推荐文章于 2023-10-31 16:42:09 发布

冷月残星

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分类专栏：紫书-第10章-数学概念与方法数学题

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紫书-第10章-数学概念与方法

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本文介绍了一种利用欧拉函数计算小于特定数值M！并与之互质的数的数量的方法。通过判断一个数是否为素数来更新欧拉函数，并采用递推的方式进行计算。适用于解决数学问题和编程竞赛中的特定类型问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

x的所有素因子都大于M ==> x与M！互质。

若x>M！，那么x与M！互质 ==> x%（M！）与M！互质。

因为M<=N,所以N！是M！的倍数，即M！能整除N！。那么我们只要算出小于M！的数中与M！互素的个数。然后乘以N！/M！就是答案。

如何求M！的欧拉函数呢？用递推的方法。

phi[i]表示i！的欧拉函数。

phi[1]=phi[2]=1;
    for(ll i=3;i<=n;i++)
        if(vis[i]) phi[i]=phi[i-1]*i%mod;
        else phi[i]=phi[i-1]*(i-1)%mod;

如果是i不是素数，那么

phi[i]=phi[i-1]*i%mod;

因为此时i！和（i-1）！的素因子集合完全相同。根据φ（n）=n(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pk)。乘一个i就好了。

如果i是素数，那么

phi[i]=phi[i-1]*(i-1)%mod;

根据公式，要乘以i*（1-1/i）=i-1。

最后答案要减1，因为从2开始算。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 10000010
using namespace std;
typedef long long ll;

const ll mod=100000007;

ll N,M;
bool vis[maxn];
ll phi[maxn];

void init()
{
    ll n=10000000;
    ll m=sqrt(n+0.5);
    for(ll i=2;i<=m;i++)
        if(!vis[i])
            for(ll j=i*i;j<=n;j+=i)
                vis[j]=true;
    phi[1]=phi[2]=1;
    for(ll i=3;i<=n;i++)
        if(vis[i]) phi[i]=phi[i-1]*i%mod;
        else phi[i]=phi[i-1]*(i-1)%mod;
}

int main()
{
    init();
    while(scanf("%lld %lld",&N,&M)==2&&(N+M))
    {
        ll ans=phi[M];
        for(ll i=M+1;i<=N;i++) ans=(ans*i)%mod;
        printf("%lld\n",(ans-1+mod)%mod);
    }
    return 0;
}