*gcd（a,b）==a^b

最新推荐文章于 2022-08-12 19:55:49 发布

WudHHH

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分类专栏：数论

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本文介绍了一种使用枚举法解决特定数学问题的方法：如何找到所有满足gcd(A, B) = A XOR B条件的整数对(A, B)，其中1 <= B <= A <= N。通过证明一个关键结论，即gcd(a, b) == a-b == a^b，文章给出了详细的算法实现过程，并附带了完整的C++代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Given an integer N, and how many pairs (A;B) are there such that: gcd(A;B) = A xor B where 1<=B<=A<=N.

这道题套路太深，用了一个我从来没见过的结论。

这个结论是这样的：

要使得gcd（a，b）== a^b，则gcd（a，b）==a - b==a^b；（假设a>b）

证明这个结论：（看其他dalao的证明的）

1、gcd（a,b）<=a-b；

设gcd（a，b）= t。则b = kt ；a = ct +b；

所以a - b = ct ，c>=1。所以a - b>=gcd(a,b);

2、a - b<=(a^b)；

将a中为0与b中为1的互换，得到a1和b1则此时a1-b1==a1^b1==a^b；

在没有换之前，a<=a1,b<=b1；

故a1-b1>=a-b；

证毕！

于是可以得到结论：要使得gcd（a，b）== a^b，则gcd（a，b）==a - b==a^b。

那么只要枚举a-b，然后打表，在求解就可以了！

代码：

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <sstream>
#define INF 1e9

using namespace std;
int t,s[30000005],n;
void pre()
{
    for (int i = 1;i < 30000005;i++)//注意：枚举的是a-b，a-b的范围还是这么大
    {
        for (int j = i+i;j < 30000005;j+=i)//对于每个（a-b），求其倍数是否和（a^b）相等
        {
            if((j^(j-i))==i)
            {
                s[j]++;
            }
        }
        s[i] += s[i-1];//将前面的数累加上来
    }
}//打表
int main()
{
    pre();
    scanf("%d",&t);
    int count1 = 1;
    while (t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("Case %d: %d\n",count1++,s[n]);//输出
    }
    return 0;
}