金融时间序列分析：4. AR自回归模型

最新推荐文章于 2025-11-08 05:13:46 发布

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#金融 #预测 #AR #金融时间序列分析 #自回归模型

本文深入探讨金融时间序列分析中的AR（自回归）模型，包括AR（1）和AR（2）模型的公式、数学特征、预测方法及平稳性条件。通过分析，揭示了AR模型如何描述时间序列的线性关系，并指出在金融领域的应用，特别是均值回复性质。

0. 目录

金融时间序列分析：9. ARMA自回归移动平均模型
 金融时间序列分析：8. MA模型实例（Python）
金融时间序列分析：7. MA滑动平均模型
 金融时间序列分析：6. AR模型实例
 金融时间序列分析：5. AR模型实例（Python）
金融时间序列分析：4. AR自回归模型
 金融时间序列分析：3. First Demo By Python
金融时间序列分析：2. 数学分析模型
 金融时间序列分析：1. 基础知识

1. 前言

接下来真是进入金融时间序列分析与预测阶段，可以说进入本篇算是正式入门了。
这里会聊聊一个最基本的模型——AR模型

2. AR模型

AR模型：（Autoregressive Model）自回归模型，是时间序列分析模型中最简单的两个模型其中之一（另一个事MA模型）。

利用前期若干时刻的随机变量的线性组合来描述以后某时刻随机变量的线性回归模型

这里写图片描述
其中{ $a_t$ }是均值为0,方差为 $\sigma^2$ 的白噪声序列。

3. AR（1）

3.1 模型公式

x t = ϕ 0 + ϕ 1 x t - 1 + a t, . . . . . . . . . . . . . . .3 .1

$x_t = \phi_0 + \phi_1x_{t-1} + a_t, ...............3.1$

or

(1 - ϕ 1 B) x t = ϕ 0 + a t

$(1 − \phi_1B)x_t = \phi_0 + a_t$

3.2 数学特征

期望

E (x t) = μ = ϕ 0 1 - ϕ 1, . . . . . . . . . . . . . . . .3 .2

$E(x_t) = \mu = \frac{\phi_0}{1-\phi_1}, ................3.2$

推导方法：直接对公式3.1两边求期望即可

把3.2带入3.1可以将AR模型公式改写为：

x t - μ = ϕ 1 (x t - 1 - μ) + a t, . . . . . . . . . . . . . . . .3 .3

$x_t - \mu = \phi_1(x_{t-1} - \mu) + a_t,................3.3$

方差

V a r (x t) = σ a 2 1 - ϕ 1 2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 .4

$Var(x_t) = \frac{{\sigma_a}^2}{1-{\phi_1}^2},....................3.4$

推导方法：直接对公式3.1两边求方差即可

协方差
这里写图片描述

自相关函数

ρ k = ϕ 1 ρ k - 1, k > 0

$\rho_k = \phi_1\rho_{k-1}, k > 0$

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