8.6.6 仿射变形的次序

在公式f(x)=Ax+b中，表面看来只能进行一次变形，其实不然：这种形变并没有次数的限制。数学上可以证明，无论对矩阵A经过多少次变换方才得到矩阵C，最终都可以通过一个变换矩阵B同A相乘得到C。而矩阵B就是中间多次变换的矩阵乘积。

例如要对舞台上的某点进行旋转+拉伸+映射变形，并不需要依次将公式中的矩阵设为相应变换矩阵，分成三次应用公式获得结果。此时，可以把多次仿射变形累积在一个矩阵上。具体就是将多次变形的各变换矩阵依次相乘，并把得到的最终结果：一个新的变形矩阵，代入公式f(x)=Ax+b即可。

这种变形的次序在二维空间是较为敏感的。同样的变形矩阵，如果应用的次序不同，产生的结果也不相同。这种现象的数学根源在于矩阵乘法的秩序性。

图展示了因为变换顺序不同而产生不同结果的例子：