Programming Challenges 习题8.6.6

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本文深入探讨了细胞自动机理论中Eden园问题的解决方案，通过逆向推导方法，避免了全状态遍历的复杂度，提供了一种高效求解算法。以特定输入为例，详细解释了如何构建自动机并验证状态是否可达，适用于竞赛及学术研究。

PC/UVa：110806/10001

Garden of Eden

这题算简单的，但是不能把所有状态遍历一遍，然后变化一次，应该逆推。

以87 17 11110100000000000这个输入为例，得到的自动机表示为：

`i - 1`	`i`	`i + 1`	new
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

为了方便，先把前一状态的头3位固定下来，根据表中可知，分别可以为000、001、010、100、100，然后根据前一状态的最末两位，以及输入状态第3位上的1，确定前一状态的第4位。重复上述步骤搜索，直到将前一状态的17位全部确定下来，最后判断发生回绕的第1位和第17位是否满足自动机。

为了编码简单，代码中通过第16和第17位的值，确定了第1位正确的值，然后再和最开始确定下来的第1位进行比较。

代码中Right是一个三维数组，表示通过当前推算出来的最末两位curr - 1和curr，得到输入状态的第curr位时，第curr + 1可能的取值范围，例如上表中，curr - 1和curr为00时，得到new = 1时，curr + 1可以是0或者1；而new = 0时，curr + 1不存在。

#include <iostream>
#include <string>
#include <sstream>
#include <vector>

#define SIZE 8

using namespace std;

void buildAutomation(int iCellular, vector<char> &vchAutomation, vector<vector<vector<char>>> &Right)
{
	while (iCellular != 0){
		vchAutomation.push_back((iCellular & 0x1) + '0');
		iCellular >>= 1;
	}
	while (vchAutomation.size() != SIZE) vchAutomation.push_back('0');
	for (size_t i = 0; i < vchAutomation.size(); i += 1)
	{
		if (vchAutomation[i] == '0'){
			Right[i >> 1][0].push_back((i & 0x1) + '0');
		}
		else{
			Right[i >> 1][1].push_back((i & 0x1) + '0');
		}
	}
}

void checkEden(const string &strState, size_t curr,
	const vector<vector<vector<char>>> &Right, string &strPrev, bool &bPrev)
{
	size_t idx = stoul(strPrev.substr(curr - 1, 2), nullptr, 2);
	const vector<char> &right = Right[idx][strState[curr % strState.size()] - '0'];
	if (curr == strState.size()){
		if (strPrev.back() == strPrev.front()){
			for (size_t i = 0; i < right.size(); i++)
			{
				if (right[i] == strPrev[1]){
					bPrev = true;
					break;
				}
			}
		}
		return;
	}
	if (!right.empty()){
		for (size_t i = 0; i < right.size(); i++)
		{
			if (!bPrev){
				strPrev.push_back(right[i]);
				checkEden(strState, curr + 1, Right, strPrev, bPrev);
				strPrev.pop_back();
			}
			else break;
		}
	}
}

int main()
{
	string strLine, strState;
	int iCellular, iCells;
	while (getline(cin, strLine)){
		istringstream iss(strLine);
		iss >> iCellular >> iCells;
		iss.get();
		iss >> strState;
		vector<char> vchAutomation;
		vector<vector<vector<char>>> Right(4, vector<vector<char>>(2, vector<char>()));
		buildAutomation(iCellular, vchAutomation, Right);
		bool bPrev = false;
		for (size_t tri = 0; tri < SIZE; tri++)
		{
			if (vchAutomation[tri] == strState[1]){
				string strPrev;
				strPrev.push_back(((tri >> 2) & 0x1) + '0');
				strPrev.push_back(((tri >> 1) & 0x1) + '0');
				strPrev.push_back((tri & 0x1) + '0');
				checkEden(strState, 2, Right, strPrev, bPrev);
				if (bPrev) break;
			}
		}
		if (bPrev){
			cout << "REACHABLE" << endl;
		}
		else{
			cout << "GARDEN OF EDEN" << endl;
		}
	}
	return 0;
}
/*
0 4 1111
204 5 10101
255 6 000000
154 16 1000000000000000
*/