B.I.T（树状数组）的初步学习（包懂）

目录

》树状数组的定义《

》树状数组的构建《

》正式开始建造《

》区间和《

》板《

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》树状数组的定义《

树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T)也称作Fenwick Tree)是一个区间查询和单点修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两点之间的所有元素之和。

如图：树状数组

》树状数组的构建《

A为原数组，C为树状数组，那么问题来了，如何构建树状数组呢？

首先，我们观察一下每一个i的二进制

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
二进制	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001

 

 

 

我们可以发现，2是1的父节点，4是2的父节点，又是3的父节点，那么，如何找一个节点的父节点呢？

其实我们可以找到一下规律：1 + 1 = 2，没错吧（废话）    2 + 2 = 4 ， 3 + 1 = 4， 5 + 1 = 6 ， 6 + 2 =8 ， 7 + 1 = 8

来吧，上表格

i	1	2	3	4	5	6	7
父节点	2	4	4	8	6	8	8
差值	1	2	1	4	1	2	1

 

 

 

 

相信有的读者已经找出了规律，没找出的也不要着急，接下来我们把 i 的二进制位与差值的二进制位来比较（来了！来了!）

i	1	2	3	4	5	6	7
i的二进制	001	010	011	100	101	110	111
差值	1	2	1	4	1	2	1
差的二进制	001	010	001	100	001	010	001

怎么样，是不是一目了然，将 i 的二进制位与 差的二进制位 进行比较，我们可以发现 i 与它的父节点的差值就是 i的二进制位从右往左数第一个1出现的二进制位所表示的值，我们称之为lowbit（i） ，举个例子，lowbit（6） = 2（二进制位10），因为6的二进制位为 110，所以从左往右数第1个1出现的位置为2（从左往右），所以lowbit（6）= 2（十进制）= 10（二进制）。再举个例子，7，因为7的二进制位为111，所以lowbit（7）=1（自己照上面的推）。

那么，如何确定lowbit（i）呢?

我们先来熟悉一下位运算中的按位与&：0 & 0=0        0 & 1=0        1 & 0=0       1 & 1=1

二进制位上相同的就得相同的，不同的都为1，简单来说只有1&1时，值为1，其他都为零

1、法一

代码

#define lowbit(x) (x-(x&(x-1))
//或者如下
int lowbit(int x){
    return (x-(x&(x-1));
}

说明：x的二进制可以看做A1B(A是最后一个1之前的部分，B是最后一个1之后的0)

            x-1的二进制可以看做A0C(C是和B一样长的1)

            x & (x - 1)的二进制就是A1B & A0C = A0B

            x – (x & (x - 1))的二进制就是A1B – A0B = 0…0(长A个0）10…0（长B个0）

2、法二

代码

#define lowbit(x) (x&(-x))
//或者如下
int lowbit(int x){
    return (x&(-x));
}

例如：lowbit(22)=2（实在不好推，只好举例子（推不出））

            22的二进制原码011010，正数的补码等于它的原码011010

            -22的二进制原码111010，负数的补码等于它的原码取反加1，为100110

            011010  & 100110 = 000010 正数转换成原码后依然是000010

            所以lowbit(22)=2

》正式开始建造《

我们先回到树状数组的图片

我们可以发现，当一个节点改变后，它的父节点，父节点的父节点……都要改变，怎么搞？怎么搞？

我们上面已经探讨了一个节点与父节点的关系 （i的父节点 = i + lowbit（i）），所以我们可以用一个循环一直找父节点的编号，直到大于了整个数组的长度，代码：

void update(int k,int x){
    for(int i = k; i <= n; i += lowbit(i))
        c[i] += x;
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        update(i,a[i]);
    }
}

update(i,j)指单点修改，修改 i ，修改的值为j。

为什么输入时就构建，而不再输完以后再构建呢？ 

我们想：我们输入 a[i] ,其实就等同于向 c[i] 中加 a[i] ,而 i 的所有前辈都要加上 a[i] 所以我们输入的时候就可以把树状数组建好，以免再去用另一个循环浪费时间。

 

》区间和《

首先，我们来复习一下后缀和，就是 sum[i] 就为位置 i 以前的所有元素之和，其代码也极其简单，就不再赘述。

所以区间 l 到 r 的和就为 sum[r] - sum[l-1]。

那么，如何用树状数组呢？

首先我们探讨一下 i - lowbit（i） 是 i 的什么，从图中可以看出，i - lowbit（i）就是从 i 向左数第一个比它高的（暂且这么称呼）

而一直这样下去就是以 i 为尾的后缀和，我就不再推了（推不出）

代码：

int Sum(int x){
    int he = 0;
    for(int i = x; i > 0; i -= lowbit(i))
        he += c[i];
    return he;
}

而我们可以发现，i 的前缀和只与 i 前面的元素有关，所以我们可以在输入时就构建出来（板）

》板《

代码中有我自己的个人习惯，不喜勿喷。

其中 a 为原数组，c 为树状数组，b 为后缀和。

#include <cstdio>
#include <iostream>

#define lowbit(x) (x&(-x))
using namespace std;

int n;

int a[105],b[105],c[105];

void update(int k,int x){
    for(int i = k; i <= n; i += lowbit(i))
        c[i] += x;
}

int Sum(int x){
    int he = 0;
    for(int i = x; i > 0; i -= lowbit(i))
        he += c[i];
    return he;
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        scanf("%d",&a[i]);
        update(i,a[i]);
        b[i] = Sum(i);
    }
}