NIM博弈证明

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博客介绍了古代Nim取石子游戏，该游戏由两人面对若干堆石子进行，规则是游戏人交替取子，最后取子者获胜。对于此游戏只有先手必胜和先手必败两种情况，还给出先手必胜的定理及证明，即当各堆石子数异或结果不为0时先手必胜。

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古代的 $Nim⁡\operatorname{Nim}$ 取石子游戏是由两个人面对若干堆石子进行的游戏。
设有 $n≥2n\ge 2$ 堆石子，各堆分别含有 $A1、A2⋯AnA_1、A_2\cdots A_n$ 个石子。

游戏的目的就是选取最后剩下的石子。游戏规则如下:

游戏人交替进行游戏
当轮到每个游戏人取子时，选择这些石子中的一堆，并从所选的堆中取走至少一个石子
(游戏人也可以取走他所选择的堆中的全部石子，于是留下一个空堆)

当所有的堆都变成空堆时，游戏结束。
最后取子（即能够取走最后一堆中剩下的所有石子）的游戏人，视为游戏的胜利者。

这种游戏称为 $NIM⁡\operatorname{NIM}$ 游戏。

对于这种游戏，只有先手必胜和先手必败两种情况。

定理:

$NIM⁡\operatorname{NIM}$ 先手必胜，当且仅当 $A1xor⁡A2xor⁡A3xor⁡⋯xor⁡AnA_1\operatorname{xor}A_2\operatorname{xor}A_3\operatorname{xor}\cdots\operatorname{xor}A_n$ 不等于 $0$

证明:

所有物品都被取光是一个必败局面(对手取走最后一件物品，对手已经获得胜利)，此时显然有 $A1xor⁡A2xor⁡A3xor⁡⋯xor⁡An=0A_1\operatorname{xor}A_2\operatorname{xor}A_3\operatorname{xor}\cdots\operatorname{xor}A_n=0$ 。
对于任意一个局面，如果 $A1xor⁡A2xor⁡A3xor⁡⋯xor⁡An=xA_1\operatorname{xor}A_2\operatorname{xor}A_3\operatorname{xor}\cdots\operatorname{xor}A_n=x$ 不等于 $0$ ，如果x二进制表示下最高位的1在第k位，那么至少存在一个石子 $A_i$ ，它的第 $k$ 位为1。显然 $Aixor⁡x<AiA_i\operatorname{xor}x<A_i$ 时，我们就能从 $A_i$ 堆中取走若干柿子，使其变成 $Aixor⁡xA_i\operatorname{xor}x$ ，从而得到了一个各堆石子数异或起来等于 $0$ 的局面。
对面任意一个局面，如果 $A1xor⁡A2xor⁡A3xor⁡⋯xor⁡An=0A_1\operatorname{xor}A_2\operatorname{xor}A_3\operatorname{xor}\cdots\operatorname{xor}A_n=0$ ，那么无论如何取柿子，得到的局面下各堆石子异或起来都不等于 $0$ 。用反证法可以证明，假设 $A_i$ 被取成了 $Aixor⁡xA_i\operatorname{xor}x$ ，由于 $x = 0$ ，所以不满足从所选的堆中取走至少一个石子。
综上所述， $NIM⁡\operatorname{NIM}$ 先手必胜，当且仅当 $A1xor⁡A2xor⁡A3xor⁡⋯xor⁡AnA_1\operatorname{xor}A_2\operatorname{xor}A_3\operatorname{xor}\cdots\operatorname{xor}A_n$ 不等于 $0$ ，证毕。