读论文学习——相位恢复和零像素填充

相位恢复算法

Gerchberg-Saxton (GS) 算法

基本原理

Gerchberg-Saxton（GS）算法是一种迭代优化方法，最早由 Gerchberg 和 Saxton 于 1972 年提出，专门用于通过强度信息恢复光波的相位分布。该算法的核心思想是：

1. 在空间域和频域之间来回变换，在每个域内约束强度信息，同时调整相位，使其逐渐收敛到满足约束条件的最优解。
2. 通过傅里叶变换（FT）和逆傅里叶变换（IFT）来更新相位信息。

算法步骤

1. 初始化：给定光场的输入平面强度 $I_{in}$ 和输出平面强度 $I_{out}$，随机初始化一个相位分布 ${\varphi }_0$。
2. 正向传播（空间域 → 频域）：
   • 计算输入平面的复振幅 $E_{in}=\sqrt{I_{in}}{e}^{i{\varphi }_n}$。
   • 进行傅里叶变换：$\hat{E}=\mathcal{F}(E_{in})$。
   • 取振幅为 $I_{out}$，但保留计算得到的相位：${\hat{E}}^{\prime }=\sqrt{I_{out}}{e}^{i\angle \hat{E}}$。
3. 反向传播（频域 → 空间域）：
   • 进行逆傅里叶变换：$E_{in}^{\prime }={\mathcal{F}}^{-1}({\hat{E}}^{\prime })$。
   • 更新相位信息 ${\varphi }_{n+1}=\angle E_{in}^{\prime }$。
4. 重复迭代：循环步骤 2 和 3 直到相位收敛或达到最大迭代次数。

优缺点

优点	缺点
适用于复杂相位结构，适应多种成像系统	可能陷入局部最优，难以保证全局最优解
易于实现，计算过程直观	依赖迭代计算，计算量较大
适用于多种光学系统，包括傅里叶全息、衍射光学等	对初始相位选择敏感，可能导致不同的收敛结果

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角谱迭代（Angular Spectrum Iteration, ASI）算法

基本原理

ASI（角谱迭代）算法是一种改进的迭代相位恢复方法，它结合了角谱传播（Angular Spectrum Propagation）来进行相位计算。该方法在迭代过程中有效减少了实验误差，使其在实验数据处理中表现更好。

算法步骤

1. 初始化：
   • 设定输入平面强度 $I_{in}$ 和输出平面强度 $I_{out}$。
   • 初始相位可以随机选取，也可以通过其他方法（如 TIE）获得一个更合理的初始估计。
2. 角谱传播（Angular Spectrum Propagation）：
   • 计算输入场的复振幅 $E_{in}=\sqrt{I_{in}}{e}^{i{\varphi }_n}$。
   • 进行傅里叶变换：$\hat{E}=\mathcal{F}(E_{in})$。
   • 乘以传播函数 $H$，即 ${\hat{E}}_{prop}=\hat{E}\cdot H$，其中 $H=e^{i{k}_{z}z}$。
   • 逆傅里叶变换回到空间域，得到传播后的场 $E_{out}$。
3. 相位更新：
   • 保持 $I_{out}$ 不变，替换相位：$E_{out}^{\prime }=\sqrt{I_{out}}{e}^{i\angle E_{out}}$。
   • 逆传播回输入面，更新相位 ${\varphi }_{n+1}$。
4. 迭代更新，直到相位收敛。

ASI 的改进

• 采用角谱传播避免了 Fresnel 近似的误差，使得该方法在短传播距离下仍能准确计算相位。
• 适用于实验数据，能够降低测量噪声的影响。

优缺点

优点	缺点
误差更小，适用于实验数据	仍然依赖迭代计算，计算复杂度较高
适用于短距离传播的相位恢复	计算成本较 GS 更高
减少传播距离的近似误差	依赖高精度测量，要求光学系统精确控制

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基于强度传输方程（TIE）的相位恢复

基本原理

TIE（Transport of Intensity Equation）是一种解析方法，不依赖迭代计算。它基于波动光学理论，通过光强在不同焦平面的变化来计算相位分布，避免了局部最优问题。

TIE 的核心方程：
$$\frac{\partial I}{\partial z}=-\frac{\lambda }{2\pi }\nabla \cdot (I\nabla \varphi )$$
其中：

• $I$ 是光强
• $\varphi$ 是相位
• $\lambda$ 是波长
• $\nabla$ 是横向梯度
• $\frac{\partial I}{\partial z}$ 是光强的纵向变化

算法步骤

1. 获取光强数据：
   • 在多个焦平面上采集光强分布（至少 2-3 张）。
2. 计算强度梯度：
   • 通过数值微分计算 $\frac{\partial I}{\partial z}$。
3. 求解 TIE 方程：
   • 采用泊松方程求解 $\varphi$：
     $${\nabla }^2\varphi =-\frac{2\pi }{\lambda }\frac{\frac{\partial I}{\partial z}}{I}$$
   • 通过傅里叶变换或有限差分方法求解相位。

优缺点

优点	缺点
解析求解，无需迭代，全局最优	需要多幅不同焦面的图像
计算快速，适用于实时成像	依赖测量精度，噪声影响较大
适用于波前检测、相位显微术	不能直接用于大相位梯度的情况

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三种算法的对比

算法	计算方式	优势	劣势
GS 算法	迭代	适用于复杂相位结构	容易陷入局部最优，计算量大
ASI 算法	迭代	误差更小，适用于实验数据	计算复杂度高，仍然需要迭代
TIE 方法	解析	快速、全局最优，适合实时应用	需要多幅图像，要求高精度测量

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总结

• GS 算法 适用于一般的相位恢复任务，但容易陷入局部最优。
• ASI 算法 适用于实验数据，减少传播误差，但计算成本较高。
• TIE 方法 计算快速，适用于实时应用，但对测量精度要求较高。

如果是实验相位恢复，ASI 可能更适合；如果是实时应用，TIE 是最佳选择；如果是一般的相位恢复，GS 是经典但可能次优的方案。

零像素填充

1. 增加图像的频谱分量

在图像处理中，尤其是在进行傅里叶变换时，图像的频谱是由图像中的像素值决定的。傅里叶变换将空间域的图像转化为频率域的表示，频域包含了图像的不同频率成分。

如果你对图像进行零像素填充（即在图像的边缘添加零值），就相当于在频域中对图像进行了扩展，增加了更多的高频分量。具体来说：

• 频谱分辨率提高：零像素填充会使图像的尺寸增加，这样做会导致频谱的分辨率变高，因为更大的图像尺寸意味着傅里叶变换后能得到更细的频率分布。
• 提高频域精度：在频域中，图像的高频成分（通常代表细节和边缘信息）会被更准确地表示，零填充可以确保这些高频信息不会因为图像尺寸过小而丢失。

2. 减少衍射失真

衍射失真通常出现在图像处理的边缘部分，特别是在图像的处理过程中，边缘信息常常会被忽略或者处理不当，导致图像中的细节丢失或变得模糊。零像素填充通过增加图像的尺寸和频域成分，有助于：

• 平滑边缘：通过填充零值像素，图像的边缘部分可以更好地与内部的像素值过渡，从而减少处理过程中产生的边缘失真。
• 更好的边缘处理：在频域中，图像的边缘频率成分会得到扩展，这样即使进行一些变换操作（如傅里叶变换和相位计算），也能较好地保留图像的边缘细节，减少衍射效应。

3. 提高相位梯度下降法的效率

在相位恢复或相位求解过程中，相位梯度下降法是用来优化相位的常见算法。这个算法通过逐步调整相位值，减少图像中的相位误差，从而恢复图像的真实相位信息。在这个过程中：

• 初始相位的精度提高：零像素填充后，图像的频谱成分会更加完整，特别是高频部分的信息得到了保留和扩展。这可以使相位梯度下降法在优化过程中得到更精确的初始相位，减少迭代次数，加快收敛速度。
• 避免迭代停滞：如果图像的频谱分量不完整或受限（例如没有足够的高频成分），相位梯度下降法可能会在某些情况下出现停滞，无法继续优化。而零像素填充提供了更多的高频信息，有助于算法避免这种停滞，保持有效的迭代。

4. 图像在傅里叶域的表现

进行零像素填充后，图像的傅里叶变换结果将呈现出以下特点：

• 更好的频域对齐：当进行傅里叶变换时，图像的频谱会扩展，填充后的图像能够提供更细致的频率分布，使得图像的频域特性更加完整，处理过程中的高频信息能够被保留并得到更准确的操作。
• 避免频谱折叠（Aliasing）：零像素填充可以有效避免频谱折叠的发生。当图像尺寸较小时，傅里叶变换可能导致某些频率分量的重叠和混叠，零填充通过增加图像大小，可以避免这些问题，从而提高后续处理的质量。

总结

零像素填充的核心作用是通过扩展图像尺寸，增加高频信息的表示，提高傅里叶变换后的频域精度。这有助于：

• 保留图像的边缘细节，减少衍射失真。
• 为相位梯度下降法提供更精确的初始相位，避免算法停滞。
• 提升图像的频域特性，确保后续处理能够更高效、精确地进行。