subsetII

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;

class Solution {
public:
	vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
		vector<vector<int>> res;
		vector<int> item;
		res.push_back(item);
		if(nums.empty()){
			return res; 
		}     
		int start = 0;
		for(int i = 0; i< nums.size(); i++){
			int size = res.size();	
			for(int j = start ; j< size; j++){
				vector<int> tmp = res[j];	
				vector<int> new_tmp = vector<int>(tmp);
				new_tmp.push_back(nums[i]);
				res.push_back(new_tmp);
			}
			if(nums[i]==nums[i+1] && i<nums.size()-1){
				 start = size;	
			}
			else{
				 start = 0;	
			}
		}
		return res;
	}
};
int main(){
	Solution so;
	vector<int> nums={1,2,2};
	vector<vector<int>> res = so.subsets(nums);
	for(int i = 0; i < res.size(); i++){
		for(int j = 0; j < res[i].size(); j++){
			cout<< res[i][j] << ",";
		}	
		cout << "**************************"<< endl;
	}
}
<think>好的,我现在得仔细看看用户的问题。用户的问题是关于如何通过翻转最少数量的卡片,使得牌组排序后的序列是非递减的。根据引用中的描述,每张卡片可以选择翻转或者不翻转,翻转后前后值交换,然后可以按任意顺序排序。不过这里可能有点歧义,需要确认问题中的“排序后牌组是sorted”指的是按照某种顺序排列后,整个序列是非递减的,而排序的顺序可以任意调整。也就是说,我们可以在翻转一些卡片之后,重新排列卡片的顺序,使得最终的序列满足非递减的条件,同时要求翻转的卡片数量最少。 首先,我需要明确问题的具体要求。每张卡片有两个值a_i和b_i,翻转操作会将这两个值交换。我们的目标是在翻转某些卡片后,将卡片重新排列,使得最终的序列(可能是a面或b面)形成一个非递减的序列。或者,可能每个卡片只能展示其中一个面,比如翻转后的b_i或者原来的a_i,然后整个序列按照选中的面排序,并且要求这个序列是非递减的。同时,我们需要找到最少翻转次数。 或者可能问题中的“排序”指的是将卡片按某种顺序排列,使得每个卡片的前一个的值小于等于后一个的值。此时,每个卡片可以选择展示a_i或b_i,然后排列顺序可以自由调整,但需要整个序列非递减,同时翻转次数最少。 假设问题中的正确理解是:每张卡片可以选择展示a_i或b_i(翻转与否决定),然后将这些卡片重新排列成一个序列,使得每个位置的值非递减,并且要求翻转的次数最少。 那如何建模这个问题呢?可能需要动态规划或者贪心的策略。 首先,对于每张卡片,有两种选择:不翻转(取a_i)或翻转(取b_i)。然后需要从这两者中选择一个,并排列卡片,使得选出的值的序列非递减,且翻转次数最少。 这个问题类似于排序问题中的双选择问题。例如,每个元素有两个可能的取值,需要选择一个,使得序列可以排列成非递减的,同时满足某种条件(如翻转次数最少)。 这类问题的一个常见思路是,将卡片按照某种顺序排序,并动态规划地处理每张卡片的选择。例如,对于每张卡片,选择取a或取b,并且当前的最大值不能超过后续的最小值,或者类似的条件。 但可能的困难在于,如何确定正确的排列顺序,以及如何保证全局的非递减条件。 另一种思路是,先确定每张卡片选择a或b的可能值,然后找到一个排列使得整个序列非递减,并且选择的翻转次数最少。 但如何高效地找到这样的排列呢?这可能需要先对所有卡片的可能选项进行排序,然后找到一种方式,使得在尽可能少翻转的情况下,形成一个非递减序列。 例如,对于每张卡片,我们有两个可能的候选值。我们需要从中选择一个值,使得存在一个排列后的序列,满足非递减的条件,同时翻转次数最少。 这似乎可以转化为一个图问题,或者使用动态规划来处理。 可能的解法步骤: 1. 对于每张卡片i,有两个可能的取值:x_i0 = a_i(不翻转)、x_i1 = b_i(翻转)。翻转次数为0或1。 2. 我们需要从每个卡片中选择一个x_i(x_i0或x_i1),然后排列这些x_i为一个非递减序列,同时总翻转次数最少。 这看起来像是一个典型的动态规划问题。例如,当处理到第i张卡片时,我们需要知道当前的最大值,并选择该卡片是否翻转,使得新的最大值尽可能小,同时满足递增条件。 但如何确定卡片的处理顺序呢?因为最终的排列可以是任意顺序,所以可能需要先对卡片进行排序,然后动态规划地决定每张卡片是否翻转。 或者,先将所有卡片的可能取值进行排序,然后找到一个最长的非递减子序列,其中每个元素来自某个卡片的选择,并且每个卡片只能选一个元素。这可能与最长公共子序列类似的问题,但这里需要满足每个卡片恰好选一个,并且整个序列非递减。 但这种方法可能时间复杂度很高,尤其是当卡片数量较多时。例如,如果有n张卡片,每个卡片有两种选择,总共有2^n种可能的选择方式,这显然不可行。所以需要更高效的算法。 另一种思路是,先确定一个全局的非递减序列,然后对于每个卡片,是否可以选择其中一个值,使得该值在序列中的合适位置,并且总翻转次数最少。 或者,可以先将所有可能的候选值进行排序,然后尝试构造一个非递减序列,其中每个卡片必须有一个值被选中,且翻转次数最少。 这可能涉及到动态规划的状态设计。例如,状态可以表示为当前处理到的卡片的位置和当前的最大值,然后选择是否翻转该卡片,使得新的最大值尽可能小,并累计翻转次数的最小值。 但这样的话,状态的数量可能很大,尤其是当卡片的值范围较大时,需要离散化处理。 或者,可以先对卡片进行排序,使得在选择是否翻转时,能够按照一定的顺序处理,从而减少状态数。 比如,将所有卡片的可能取值进行排序,然后按照某种顺序处理卡片,比如按最小值或最大值排序。 例如,将每张卡片的两个候选值的最小值和最大值记录下来,然后按照最小值从小到大排序。然后,在处理卡片时,尽量选择较小的值,以减少对后续的影响。 这可能类似于贪心算法,但需要确保整体的非递减条件。 例如,假设我们按每张卡片的最小可能值排序。对于每张卡片,在保证当前所选的值不小于前一个所选值的前提下,尽可能选择较小的值,这样可以给后续卡片更多的选择空间。同时,尽可能少翻转卡片。 这可能是一种可行的贪心策略。例如,对于排序后的卡片,依次处理每个卡片,选择能够满足非递减条件的取值中,翻转次数最小的选项。 具体步骤可能如下: 1. 对每张卡片i,计算其可能的两个值:x_i0 = a_i,x_i1 = b_i。 2. 将卡片按min(x_i0, x_i1)进行排序。或者,可能按照某种其他顺序排序,比如按照max(x_i0, x_i1)排序。 3. 初始化当前的最大值为负无穷大。 4. 遍历每张卡片,对于当前卡片,可以选择x_i0或x_i1。要满足选中的值 >= 当前最大值,并且尽可能选择较小的那个(以减少对后续的影响),同时如果两个值都满足,则选择翻转次数少的那个。 这可能是一个贪心方法,但不确定是否正确,因为可能后续的卡片需要较大的值,导致前面的选择无法得到最优解。 因此,贪心策略可能不适用,需要动态规划。 动态规划的思路是,将卡片按照一定顺序处理(比如按排序后的顺序),然后维护当前所选的最大值,并记录此时的最小翻转次数。 例如,假设所有卡片已经按某种方式排序,比如按照min(a_i, b_i)排序。然后,对于每个卡片i,我们需要决定是否翻转它,并且保证当前选择的值不小于前一个卡片选择的值。 动态规划的状态可能包括处理到第i张卡片,当前的最大值为v,此时的最小翻转次数。 初始状态是处理第0张卡片(未处理任何卡片),最大值为-∞,翻转次数为0。 对于每个卡片i,在处理时,有两种选择:翻转或不翻转,对应的值为x和y(假设x <= y)。假设当前的最大值为prev_max,那么选择x的话,必须x >= prev_max,此时新的最大值为x,翻转次数是否增加0或1。或者选择y,同样需要y >= prev_max。 但这样的状态可能过多,因为v的可能取值范围很大。因此,需要对可能的v值进行离散化,或者限制其可能的取值。 另外,如果卡片已经按某种顺序排序,比如每个卡片的两个值的最小值递增排序,那么可能可以更高效地处理。 例如,假设卡片已经按min(a_i, b_i)从小到大排序。那么,在处理第i张卡片时,尽可能选择较小的可能值,但必须不小于前一个的最大值。 例如,对于当前卡片i,可能的两个值是a和b,假设a <= b。那么,在之前最大值prev_max的情况下,如果a >= prev_max,那么可以选择a,不翻转;或者如果b >= prev_max,则可以选择b,翻转。此时,我们需要选择哪一个能够带来更小的翻转次数,并且使得后续的选择更优。 但如何保证这一点呢?这可能需要动态规划的状态转移。 例如,动态规划的状态是当前处理到第i张卡片,当前的最大值为v,此时的最小翻转次数为dp[i][v]。但这样的状态空间太大,无法处理。 因此,可能需要另一个方式,比如在排序后,维护一个可能的当前最大值的集合,并对于每个卡片,更新这些可能的集合。 例如,对于每个卡片i,可能的选项是选a_i或b_i。那么,对于每个可能的prev_max,我们可以生成新的max值,并记录对应的翻转次数的最小值。 这可能更可行,但如何高效处理? 例如,初始时,处理第0张卡片时,prev_max的可能值是-∞,翻转次数是0。 处理第1张卡片时,有两种选择:选a_1或b_1。假设选a_1,则当前max是a_1,翻转次数0;选b_1,则当前max是b_1,翻转次数1。 处理第2张卡片时,对于每个可能的prev_max值(a1或 b1),分别处理两种选择: 比如,如果prev_max是a1,那么对于第二张卡片的a2,必须>=a1。如果选a2,则新的max是max(a1, a2)?或者如果卡片是重新排列顺序的,那么可能顺序不同? 哦,这里可能有个误解。原来的问题允许在翻转后,将卡片按照任意顺序排序。所以,卡片的顺序是可以任意排列的,而不是必须按照原来的顺序处理。所以,问题转化为:选择每张卡片的a_i或b_i,然后排列这些选中的值,使得它们形成一个非递减序列,同时翻转次数最少。 这大大改变了问题。因为卡片可以按任意顺序排列,所以我们的目标是在所有可能的排列中,找到一种排列方式,使得选中的值的序列非递减,并且对应的翻转次数最少。 这类似于:每个卡片有两个选项,从每个中选一个,然后这些选中的数是否可以排列成一个非递减序列,并且选最少的翻转次数。 例如,假设n=3,卡片分别是(5,10)、(6,3)、(7,2)。那么,可能的选法: 卡片1选5(不翻转),卡片2选6(不翻转),卡片3选7(不翻转),得到序列5,6,7,翻转次数0。或者卡片2可能选3(翻转),卡片3选2(翻转),这样序列可能排序为2,3,5,翻转次数2。但需要看是否允许这样。 所以,问题转化为,如何选择每个卡片的一个值,使得这些值可以排列成一个非递减的序列,并且总翻转次数最少。 此时,正确的做法可能是先确定所有可能的候选值,并找到其中一种组合,可以排列成非递减,且总翻转次数最少。 这似乎类似于集合覆盖问题,但可能可以利用动态规划或排序的方法。 可能的解决步骤: 1. 对于每张卡片i,生成两个选项:a_i和b_i。同时记录是否翻转(0或1)。 2. 从所有可能的选项组合中选择一个选项(每个卡片选一个),使得这些选中的值可以组成一个非递减序列,并且总翻转次数最少。 这可以通过以下步骤实现: a. 将所有卡片的所有可能选项(a_i和b_i)进行全排列,找到满足非递减的序列,并计算对应的翻转次数。但这种方法的时间复杂度是O(2^n),显然不适用于较大的n。 因此,必须寻找更高效的算法。 另一种思路是,将问题视为图的问题,每个节点表示当前已选卡片的值和当前的最大值,边表示选择下一张卡片的某个值,满足非递减条件。然后寻找从初始状态到结束状态的最短路径(翻转次数最少)。 但这样的状态数可能仍然很大。 可能的优化方法是,将所有卡片按照某种方式排序,例如按min(a_i, b_i)排序,然后在处理每个卡片时,尽可能选择较小的值,以减少对后续的影响。 但如何保证这样能得到最优解? 或者,可以对所有可能的候选值进行排序,然后尝试为每个卡片选择一个值,使得整个序列可以非递减排列。例如,将所有可能的候选值排序,然后找到一组选择,使得每个卡片至少有一个值在排序后的序列中,并且总翻转次数最少。 例如,假设将所有可能的候选值排序,得到一个有序数组。然后,我们需要从中选出一个子序列,其中每个元素来自不同的卡片,并且每个卡片恰好贡献一个元素。此外,这个子序列的长度必须等于n(所有卡片都被选中),并且是非递减的。同时,我们希望总翻转次数最少。 这类似于在一个有序数组中,为每个卡片选一个元素,使得每个元素的位置对应卡片,并且总翻转次数最少。 但这可能可以通过贪心算法来解决。例如,从最小的候选值开始,尽可能为每个卡片选择最小的可能值,同时确保后续的选择仍有足够的候选。 例如,首先将所有候选值排序。然后,对于每个卡片,记录它的两个候选值的位置。然后,我们需要选出一个元素序列,其中每个元素对应一个卡片,且每个元素在排序后的数组中的位置不早于前一个元素的位置。这可能需要动态规划来处理。 但这种方法可能需要较为复杂的处理。 另一个思路是,对于每个卡片的两个候选值,按某种方式排序,然后构造一个全局的数组,使得每个卡片的两个值都被包含,并且找到一条包含每个卡片至少一个值的非递减序列,并且翻转次数最少。 这可能需要动态规划,其中状态为处理到第i个卡片,当前的最大值为某个值,此时的最小翻转次数。 在这种情况下,我们需要对卡片进行排序,例如按照两个候选值中的较小值进行排序,然后处理每个卡片时选择其中一个值,并且该值必须不小于前一个选中的值。 这可能更可行。 具体来说,步骤如下: 1. 将卡片按照min(a_i, b_i)从小到大排序。这样,在处理卡片时,优先处理那些有较小可能值的卡片,使得后面的卡片有更大的选择空间。 2. 初始化动态规划表,其中dp[i][v]表示处理到前i个卡片,最后一个选中的值为v时的最小翻转次数。初始状态是处理0个卡片,v为-∞,翻转次数0。 3. 对于每个卡片i,在处理时,遍历所有可能的v值(即之前的状态),然后对于当前卡片的两个候选值x和y(x为a_i,y为b_i),如果x >= v,则可以选x,此时新的状态是dp[i+1][x] = min(dp[i+1][x], dp[i][v] + 0),同理,如果y >= v,则选y,翻转次数加1。 4. 最终,在所有可能的v值中找到最小的翻转次数,其中处理完所有n个卡片。 但这样的动态规划状态数可能很大,因为v可以是任何可能的数值。为了优化,可以记录所有可能的v值,并且对于每个卡片i,只保留对于每个可能的最优v值的最小翻转次数。 例如,在处理卡片i时,维护一个列表,记录可能的当前最大值v以及对应的最小翻转次数。对于每个卡片,处理其两个可能的候选值,并根据前一个状态的v值,更新新的可能的v值。 这可能更高效,因为每个步骤只需要处理前一个状态的所有可能的v值,并与当前卡片的两个候选值组合。 例如,初始状态是 { ( -infinity, 0 ) }. 处理第一个卡片时,两个候选值x1和y1。对于每个候选值,如果它 >= 前一个的v值(即 -infinity),则生成新的状态。例如: x1 >= -inf → 新的状态是 (x1, 0次翻转) y1 >= -inf → 新的状态是 (y1, 1次翻转) 所以,处理第一个卡片后的状态列表是 [ (x1,0), (y1,1) ] 处理第二个卡片时,对于每个前一个状态中的(v_prev, flips_prev),考虑当前卡片的x2和y2: 如果x2 >= v_prev → 新的状态是 (x2, flips_prev + 0 ) 如果y2 >= v_prev → 新的状态是 (y2, flips_prev + 1 ) 然后将这些新的状态合并,对于相同的v_current,保留最小的flips值。 例如,假设前一个状态有两个可能的值:v_prev1和v_prev2,处理当前卡片可能生成多个状态,但同一v_current取最小的翻转次数。 这样,每个步骤的状态数是有限的,并且可以通过合并相同v_current的状态来减少数量。 例如,假设在处理某个卡片时,两个不同的前状态导致同一个v_current,但翻转次数不同,只保留翻转次数较小的那个。 这样,动态规划的状态数可以得到有效控制,尤其是当卡片数量n较大时。 最终,处理完所有卡片后,从所有可能的状态中找到最小的翻转次数。 这样的算法的时间复杂度是O(n * k),其中k是每个步骤的状态数。而k的大小取决于卡片的值范围和选择情况,但可能在实际中是可接受的。 因此,这种动态规划方法可能是可行的。 现在,总结算法思路: 1. 将卡片按min(a_i, b_i)从小到大排序,以确保处理顺序优先处理较小的可能值,增加后续选择的可能性。 2. 初始化动态规划状态,初始状态为处理0个卡片,当前最大值为-∞,翻转次数0。 3. 对于每个卡片i,按顺序处理: a. 取出该卡片的两面值x和y(a_i和b_i)。 b. 对于前一个状态列表中的每个(v_prev, flips_prev),分别尝试选x或y: i. 如果x >= v_prev,则生成新的状态(v_new = max(v_prev, x) ? 或者v_new = x? 因为之前的v_prev是当前序列的最大值。如果选x,并且x >= v_prev,那么新的最大值是x吗?或者原来的v_prev可能更大?比如,之前的最大值是v_prev,当前选x >= v_prev,那么新的最大值是x?不,比如,如果v_prev是5,x是6,那么新最大值是6。如果v_prev是5,x是4,但是x >= v_prev不成立,所以这个选择不合法。因此,在动态规划状态中,v_prev表示当前已选序列的最大值。因此,当选x >= v_prev时,新的最大值是x。同理,选y >=v_prev时,新的最大值是y。 因此,状态转移的正确方式是:当选择当前卡片的某个值c(x或y),且c >= v_prev,那么新的状态的最大值是c,翻转次数增加对应的0或1。 c. 对生成的新的状态进行合并,对于相同的c值(新的最大值),只保留翻转次数最小的那个。 4. 处理完所有卡片后,在所有状态中选择翻转次数最小的那个,即为答案。如果没有状态存在,则说明无法形成非递减序列,但根据问题描述,可能总是可以,因为可以翻转所有卡片并排序。 现在,举一个例子来验证这个思路是否正确。 例如,假设有两张卡片: 卡片1:a=3,b=5 → 如果选择不翻转,值为3;翻转则为5。 卡片2:a=2,b=4 → 选择不翻转值为2,翻转为4. 按min(a_i, b_i)排序,卡片2的min是2,卡片1的min是3,所以顺序是卡片2先处理。 处理顺序是卡片2,然后卡片1. 初始状态:(-inf, 0) 处理卡片2: 可能的选值是2或4。 选2:因为2 >= -inf,新的状态是 (2, 0+0=0) 翻转次数0. 选4:4 >= -inf,状态是 (4, 0+1=1). 此时,状态列表是 [(2,0), (4,1)]. 处理卡片1: 对于每个前一个状态: 前一个状态1: (2, 0) 当前卡片1的x=3,y=5. 尝试选x=3 >=2 → 是,新状态 (3, 0+0=0). 选y=5 >=2 → 是,新状态 (5, 0+1=1). 前一个状态2: (4, 1) 选x=3 >=4? 不成立,所以不能选x. 选y=5 >=4 → 是,新状态 (5, 1+1=2). 所以,当前状态列表: (3,0), (5,1), (5,2). 合并相同c值的状态: 对于c=5,最小翻转次数是1。因此,状态列表变为 [(3,0), (5,1)]. 此时,处理完所有卡片,选择翻转次数最小的状态。即0或1。例如,状态是3,翻转次数0,或者5翻转次数1。所以最小是0次。对应的选择是卡片2选2,卡片1选3,排列顺序是2,3,翻转次数0。或者卡片2选4,卡片1选5,翻转次数2(卡片2翻转1次,卡片1翻转1次)。 因此,最优解是翻转次数0次,选择卡片2的不翻转和卡片1的不翻转,然后排序得到2,3. 这说明动态规划的方法是正确的。 另一个例子: 卡片1: a=2, b=1 → min是1 卡片2: a=3, b=4 → min是3 排序后的顺序是卡片1,卡片2. 处理卡片1: 初始状态:(-inf,0). 卡片1的选项是2和1(假设翻转后的b是1)。 所以,选2的话需要不翻转,翻转次数0;选1需要翻转次数1. 生成状态:(2,0)和(1,1). 处理卡片2: 卡片2的选项是3和4. 对于状态 (2,0): 选3 >=2 → 新状态 (3, 0+0=0). 选4 >=2 → 新状态 (4, 0+1=1). 对于状态 (1,1): 选3 >=1 → 新状态 (3,1+0=1). 选4 >=1 → 新状态 (4,1+1=2). 合并后的状态列表: (3,0), (4,1), (3,1), (4,2). 合并相同c值的话,对于c=3,取最小的翻转次数0和1中的0;对于c=4,取1和2中的1. 所以最终状态是 (3,0), (4,1). 最小翻转次数是0. 对应的选法是卡片1不翻转(2),卡片2不翻转(3),排序后2,3,符合条件。 所以动态规划的方法正确。 现在,如何将这个思路转化为代码呢? 代码的大致步骤如下: 1. 对每张卡片进行处理,生成它们的两个值,并记录翻转次数。 2. 将卡片按照min(a_i, b_i)从小到大排序。 3. 初始化动态规划的字典,其中键是当前的最大值,值是对应的最小翻转次数。 4. 遍历每一张卡片: a. 对于当前卡片的两个候选值x和y(x为a_i,y为b_i)。 b. 创建一个新的字典,用来保存处理当前卡片后的状态。 c. 对于前一个状态中的每个键值对(prev_max, flips): i. 如果x >= prev_max,则可以将当前卡片选为x,不翻转。新的最大值是x,翻转次数是flips。如果新字典中x对应的翻转次数比当前计算的更大,则更新为较小的。 ii. 如果y >= prev_max,则翻转次数是flips +1。同样更新新字典。 d. 将新字典作为当前的状态,进入下一轮循环。 5. 最后,在所有状态中选择翻转次数的最小值。 需要注意的是,当处理每个卡片时,前一个状态可能有多个可能的prev_max值,每个对应不同的翻转次数。对于当前卡片的每个候选值,必须满足候选值 >= prev_max才能被选中。 此外,在合并状态时,对于同一个候选值,保留翻转次数最小的那个。 代码实现中,可以使用一个字典(Python中的字典)来保存当前的最大值及其对应的最小翻转次数。在处理每个卡片时,遍历所有可能的前一个最大值,并生成新的候选最大值,然后合并这些候选值,保留最小的翻转次数。 例如,Python代码的大致结构可能如下: def min_flips(cards): # cards is a list of tuples (a_i, b_i) # 按min(a_i, b_i)排序 cards.sort(key=lambda x: min(x[0], x[1])) dp = {-float('inf'): 0} # 初始状态,最大值为-∞,翻转次数0 for a, b in cards: new_dp = {} for prev_max in dp: # 尝试不翻转,选a if a >= prev_max: if a not in new_dp or dp[prev_max] < new_dp[a]: new_dp[a] = dp[prev_max] # 尝试翻转,选b if b >= prev_max: cost = dp[prev_max] + 1 if b not in new_dp or cost < new_dp[b]: new_dp[b] = cost dp = new_dp if not dp: return -1 # 无法满足条件 return min(dp.values()) if dp else -1 但需要测试这个代码是否正确。 例如,第一个例子中的卡片是卡片2:a=2,b=4;卡片1:a=3,b=5。排序后的顺序是卡片2(min(2,4)=2)在前,卡片1(min(3,5)=3)在后。 处理卡片2时: 初始dp是 {-inf:0}. 对于prev_max=-inf: 选a=2 >= -inf → new_dp[2] =0. 选b=4 >=-inf → new_dp[4] =1. 所以 dp变成 {2:0,4:1}. 处理卡片1(a=3,b=5): 对于每个 prev_max in [2,4]: 对于prev_max=2: 选a=3 >=2 → new_dp[3] =0. 选b=5 >=2 → new_dp[5] =0+1=1. 对于prev_max=4: 选a=3 >=4? 不成立,跳过. 选b=5 >=4 → cost=1+1=2. 检查5是否在new_dp中。此时new_dp已经有一个5的条目,其值是1(来自prev_max=2的情况),所以此时新的 cost是2,比原来的1大,所以不更新。 所以,new_dp是 {3:0,5:1}. 所以最终的最小翻转次数是0,正确。 另一个例子,卡片1:a=2,b=1;卡片2:a=3,b=4。排序后的顺序是卡片1(min(2,1)=1),卡片2(min(3,4)=3). 处理卡片1时,初始dp是 {-inf:0}. 处理卡片1的a=2,b=1: prev_max=-inf: 选a=2 >=-inf → new_dp[2] =0. 选b=1 >=-inf → new_dp[1] =1. 此时dp是 {2:0,1:1}. 处理卡片2的a=3,b=4: 对于每个 prev_max in [2,1]: prev_max=2: 选a=3 >=2 → new_dp[3] =0. 选b=4 >=2 → new_dp[4] =0+1=1. prev_max=1: 选a=3 >=1 → new_dp[3] = min(当前new_dp中的3的值0,或者来自prev_max=1的翻转次数1 +0?即选a时,翻转次数是前一个状态的翻转次数1(prev_max=1对应的翻转次数是1)?是的。当前卡片的状态处理是这样的: 在卡片2的处理中,对于prev_max=1,其对应的翻转次数是1。此时,选a=3需要不翻转,所以总翻转次数是1+0=1。而选b=4的话,总翻转次数是1+1=2. 所以,对于prev_max=1: 选a=3 → new_dp[3] =1(因为原new_dp中3的值是0,所以当存在两个不同路径到达同一个值3时,取较小的,即0). 选b=4 → new_dp[4] =2. 所以,合并后的new_dp是: 3:0(来自prev_max=2的选a,翻转次数0). 3:1(来自prev_max=1的选a,翻转次数1) → 所以保留较小的0. 4:1(来自prev_max=2选b). 4:2(来自prev_max=1选b) → 保留1. 因此,new_dp是 {3:0,4:1}. 最终最小翻转次数是0,正确。 这说明代码逻辑是正确的。 现在,关于如何生成相关问题: 用户的问题是关于卡片翻转以得到排序后的牌组的最小翻转次数的问题。相关的可能问题包括: 1. 该问题的时间复杂度是多少?动态规划方法是否适用于大规模数据? 2. 是否存在无法构造非递减序列的情况?如何处理? 3. 如果允许部分卡片不被使用(比如可以选择是否使用某张卡片),如何调整算法? 4. 是否还有其他优化该算法的方法,例如状态压缩? 5. 该问题与经典的动态规划问题(如最长递增子序列)有何异同? 根据这些思路,生成相关问题。</think>### 思路分析 要解决卡片翻转使牌组排序的问题,关键在于选择每张卡片的正面或反面,使得所有选中的值可以排列成一个非递减序列,同时翻转次数最少。步骤如下: 1. **排序预处理**:将卡片按每张的两个值的较小值从小到大排序,以便优先处理可能更小的值,为后续留出更大选择空间。 2. **动态规划状态设计**:用字典记录当前已处理卡片的最大值及对应的最小翻转次数。 3. **状态转移**:对于每张卡片,尝试选择其正面或反面,若满足非递减条件,则更新状态并记录翻转次数。 4. **合并优化**:对同一最大值保留最小翻转次数,避免重复计算。 ### 算法实现 ```python def min_flips(cards): # 按每张卡片的最小值排序 cards.sort(key=lambda x: min(x[0], x[1])) dp = {-float('inf'): 0} # 初始状态:最大值为负无穷,翻转次数0 for a, b in cards: new_dp = {} for prev_max in dp: # 不翻转,选a if a >= prev_max: cost = dp[prev_max] if a not in new_dp or cost < new_dp[a]: new_dp[a] = cost # 翻转,选b if b >= prev_max: cost = dp[prev_max] + 1 if b not in new_dp or cost < new_dp[b]: new_dp[b] = cost dp = new_dp if not dp: return -1 # 无法构造非递减序列 return min(dp.values()) if dp else -1 ``` ### 示例说明 假设输入卡片为 `[(3, 5), (2, 4)]`,排序后为 `[(2,4), (3,5)]`: 1. 处理卡片 `(2,4)`,选择不翻转得到最大值2(翻转次数0)或翻转得到4(翻转次数1)。 2. 处理卡片 `(3,5)`,若前一步最大值为2,选3(次数0)或5(次数1);若前一步最大值为4,只能选5(次数2)。 3. 最终最小翻转次数为0(序列2→3)。 ### 复杂度分析 - **时间复杂度**:$O(n \cdot k)$,其中 $n$ 是卡片数,$k$ 是每轮状态数。最坏情况下 $k$ 指数增长,但实际因合并优化通常可控。 - **空间复杂度**:$O(k)$,存储动态规划状态。 ### 相关问题 1. 如果卡片数量很大(例如 $n=10^5$),如何优化此算法的时间复杂度? 2. 若允许部分卡片不参与排序,如何调整算法以最小化翻转次数? 3. 该问题与最长递增子序列(LIS)有何异同?能否用 LIS 的思路解决? 4. 如何判断是否存在无法生成非递减序列的情况?此时应如何处理? 5. 是否存在贪心策略能替代动态规划,以进一步降低时间复杂度? [^1]: 参考问题描述:通过翻转卡片使牌组有序的最小翻转次数。
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