洛谷P2680 运输计划(LCA,树上差分)

本文探讨了一种结合树上差分与二分查找的算法优化策略,通过在树状结构中运用差分技巧,有效地缩短了最长路径的长度,确保其不超过预设值。关键在于识别并调整路径上的最大边长,实现路径长度的有效控制。

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我们二分答案,如何check呢
我们要使最长的路径最短或者小于一个值,易证一定是使最长的那条路变短
那么现在我们要使长度超过mid的路径变短,我们一定是找一条在这几条路径上的公共公共边中最大的一条,如果最长边减去该边长度小于mid,就符合,不然就不符合
至于怎么统计路径,那就是树上差分的拿手好戏了
我们用come[i]表示点i上方边的权值,num[i]表示i点上方边被经过的次数,pick为差分数组,对于每一条长度大于mid的路径
我们差分一下就行,最后一遍dfs统计
如果num[i]等于长度大于mid的路径总数,我们统计一次(maxlen-come[i],ans)
如果最后ans<=mid return true
不然 return false;

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn = 500007;
const int N = 30;
const int INF = 2147483647;
struct node
{
	int to,next,w;
}edge[2*maxn];
int cnt,head[maxn];
void add(int from,int to,int w)
{
	edge[++cnt].to=to;
	edge[cnt].next=head[from];
	edge[cnt].w=w;
	head[from]=cnt;
}
int dp[maxn][N+1],dis[maxn],Log[maxn],dep[maxn];
int n,m,mi[50],come[maxn],pick[maxn],num[maxn];

struct nodfe
{
	int from,to,lca,dis;
}g[maxn];
bool cmp1(nodfe a,nodfe b){ return a.dis>b.dis ;};


void dfs1(int u,int fa)
{
	dep[u]=dep[fa]+1;
	for(int i=1;i<=Log[dep[u]];i++)
		dp[u][i]=dp[dp[u][i-1]][i-1];
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
	{
		int to=edge[i].to;
		int w=edge[i].w;
		if(to==fa)continue;
		come[to]=w;
		dis[to]=dis[u]+w;
		dp[to][0]=u;
		dfs1(to,u);
	}
}



int lca(int u,int v)
{
	if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);
	for(int i=N;i>=0;i--)
	{
		if(dep[dp[u][i]]>=dep[v]&&mi[i]<dep[u])
		{
			//cout<<u<<" "<<i<<endl;
			u=dp[u][i];
		}
	}
	if(u==v)return v;
	for(int i=N;i>=0;i--)
	{
		if(dp[u][i]!=dp[v][i]&&mi[i]<dep[u])
		{
			u=dp[u][i],v=dp[v][i];
		}
	}
	return dp[u][0];
}

void dfs2(int u,int fa)
{
	num[u]=pick[u];
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
	{
		int to=edge[i].to;
		if(to==fa)continue;
		dfs2(to,u);
		num[u]+=num[to];
	}
}

bool check(int mid)
{
	int ret=g[1].dis,re=g[1].dis;
	memset(pick,0,sizeof(pick));
	memset(num,0,sizeof(num));
	int number=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(g[i].dis<=mid)break;
		number++;
		pick[g[i].from]++;
		pick[g[i].to]++;
		pick[g[i].lca]-=2;
	}
	//cout<<ret<<endl;
	dfs2(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(num[i]>=number)
			re=min(re,ret-come[i]);//,cout<<re<<" "<<i<<" "<<come[i]<<endl;
	
	if(re>mid)return false;
	else return true;
	/*for(int i=1;i<=n;i++)cout<<num[i]<<" ";
	cout<<endl;*/
	
}

int main()
{
	int l=0,r=0;
	Log[0]=-1;
	mi[0]=1;
	for(int i=1;i<=N+1;i++)mi[i]=2*mi[i-1];
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)Log[i]=Log[i>>1]+1;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int x,y,z;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		r+=z;
		add(x,y,z),add(y,x,z);
	}
	dfs1(1,0);
	/*for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cout<<come[i]<<" ";
		//for(int j=Log[dep[i]];j>=0;j--)cout<<i<<" "<<j<<" "<<dp[i][j]<<endl;
	}*/
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		g[i].from=x,g[i].to=y;
		g[i].lca=lca(x,y);
		g[i].dis=dis[x]+dis[y]-2*dis[g[i].lca];
		//cout<<x<<" "<<y<<" "<<g[i].lca<<" "<<g[i].dis<<endl;
	}
	sort(g+1,g+1+m,cmp1);
	int ans=INF;
	while(l<=r)
	{
		int mid=l+r>>1;
		if(check(mid))ans=min(ans,mid),r=mid-1;
		else l=mid+1;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
} 

/*
6 3
1 2 3
1 6 4
3 1 7
4 3 6
3 5 5
3 6
2 5
4 5
*/
/*
10 4
1 5 4
2 5 3
3 5 2
4 5 1
5 6 15161
6 10 5
6 9 6
6 8 7
6 7 8
1 10
2 9
3 8
4 7
*/
<think>好的,用户想学习树上差分,需要一份详细的中文学习材料,用Markdown格式。首先,我得先确认用户的基础,可能已经掌握了的基本概念和遍历方法,以及差分数组的知识。接下来,我需要整理树上差分的核心内容,包括适用场景、基本思想、操作步骤、常见问题类型和例题解析。 首先,要介绍什么是树上差分,强调它用于高效处理树上路径更新和查询。然后,对比一维差分,说明其不同之处。接着,分点讲解点差分和边差分的实现方法,包括思路、步骤和例子。这部分需要详细说明如何利用LCA来拆分路径,以及如何进行后续的DFS统计。 然后,要考虑用户可能遇到的常见问题,比如如何选择点差分还是边差分,如何处理多次询问后的统计,以及时间复杂度的分析。这部分要简明扼要,帮助用户避免常见错误。 接下来是例题部分,选择经典题目如洛谷P3128和P3258,给出解题思路和代码示例,确保用户能通过实际应用加深理解。需要注意代码的注释和解释,帮助用户理解每一步的作用。 最后,推荐一些练习题目和参考资料,帮助用户巩固知识。需要确保链接的有效性,或者至少给出题目名称和来源,方便用户查找。 在组织内容时,要保持结构清晰,使用Markdown的标题、子标题、代码块和列表,让文档易读。同时,语言要简洁明了,避免过于学术化的表述,适合自学使用。还要注意检查逻辑是否连贯,步骤是否准确,避免技术错误,比如LCA的正确使用、差分数组的更新方式是否正确等。 可能用户需要的是从基础到应用的完整路径,因此需要按照学习顺序组织内容,先理论后实践,再练习题。另外,用户可能对树上差分的具体应用场景不太清楚,需要举例说明,比如统计节点被覆盖的次数,或者路径上的权重更新。 需要确保提供的代码示例正确,并且有适当的注释,方便用户理解。同时,时间复杂度分析部分要简明,指出优化点,比如使用Tarjan或倍增法求LCA对效率的影响。 总结来说,整个学习材料需要覆盖概念、原理、实现步骤、例题详解和练习题,结构清晰,内容详实,适合自学。同时,语言要口语化,避免生硬,让用户容易理解和跟进。</think>```markdown # 树上差分 系统学习指南 ## 📚 前置知识要求 1. 的基本概念(节点、边、根、子LCA) 2.的遍历方法(DFS、BFS) 3. 差分数组的基本概念与应用 4. 最近公共祖先(LCA)算法 ## 🌳 什么是树上差分? **核心思想**:将树上的路径修改操作转换为节点/边的增量标记,通过DFS后序遍历进行统计 **典型应用场景**: - 统计树上路径覆盖次数 - 路径权重批量增加 - 网络流量统计 - 离线处理多个区间操作 ## 🔢 两种实现方式 ### 1. 点差分 **适用场景**:路径端点处理(统计节点被覆盖次数) **操作步骤**: 1. 找到路径u-v的LCA 2. 差分数组操作: ```python diff[u] += val diff[v] += val diff[lca] -= val if father[lca] exists: diff[father[lca]] -= val ``` ### 2. 边差分 **适用场景**:路径边处理(统计边被覆盖次数) **操作步骤**: 1. 将边权下放到子节点 2. 差分数组操作: ```python diff[u] += val diff[v] += val diff[lca] -= 2*val ``` ## 🛠️ 实现流程 1. 预处理LCA(倍增/Tarjan) 2. 进行差分标记 3. DFS后序遍历统计结果 4. 根据需求处理最终数据 ## 💡 关键问题解析 ### Q1 如何选择点/边差分? - 统计节点 → 点差分 - 统计边 → 边差分 ### Q2 多次操作后如何统计? 通过DFS后序遍历累加子节点的标记值: ```python def dfs(u, parent): for v in children[u]: if v != parent: dfs(v, u) diff[u] += diff[v] ``` ## 📝 经典例题 ### 例题1:洛谷P3128 [USACO15DEC]Max Flow **题目**:给树上的多条路径,求最大节点流量 **解法**: 1. 点差分处理每条路径 2. DFS统计最终值 3. 遍历求最大值 **代码片段**: ```python # 伪代码示例 for _ in range(k): u, v = path lca = find_lca(u, v) diff[u] += 1 diff[v] += 1 diff[lca] -= 1 if parent[lca]: diff[parent[lca]] -= 1 dfs(root) print(max(diff)) ``` ### 例题2:洛谷P3258 [JLOI2014]松鼠的新家 **特点**:边差分应用,注意首尾节点的特殊处理 ## 🚀 复杂度分析 - 空间复杂度:O(n) ## 🔍 推荐练习 1. [CF1076E] Vasya and a Tree 2. [LOJ #10131] 暗的连锁 3. [POJ 3417] Network ## 📖 学习资源推荐 1. 《算法竞赛进阶指南》第0x63节 2. OI Wiki 树上差分专题 3. 洛谷题单:树上差分经典问题 ## 🧠 学习要点总结 1. 差分思想的核心是"标记-传递" 2. LCA的正确求法是关键 3. 注意区分点差分和边差分的不同处理 4. DFS后序遍历是统计的关键步骤 建议先理解一维差分,再通过2-3道典型题目实践,最后挑战变形题。遇到问题可画图模拟差分过程辅助理解。 ```
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