Relative Entropy, Exponential Utility, and Robust Dynamic Pricing

符号

符号	含义
$[0,T]$	时间周期
$c$	可以在有限的时间间隔内出售的易腐物品的最大数量
$N(t)$	截至（包括）时间 $t$ 的销售总数
$X(t)$	时间 $t$ 时库存中剩余的物品数
F t = σ { N ( s ) , 0 ≤ s ≤ t } \mathcal{F}_t = \sigma\{ N(s), 0\leq s \leq t\} Ft​=σ{N(s),0≤s≤t}	由 $N(t)$ 生成的 filtration
$\mathcal{F}={\mathcal{F}}_T$
$p(t^{-})$	$t$ 时刻的销售价格
$\lambda (t)$	顾客的瞬时到达率（ instantaneous arrival rate）
$\mathcal{P}$	满足 $\lambda (p)<\infty$ 的价格集合
$\mathcal{R}$	$\mathcal{P}$ 对应的所有顾客到达速率集合

$\lambda (t)$可以表示成价格的一个函数 $\lambda (t)=\lambda (p(t))$ 或者简写为 $\lambda (p)$，比如 $\lambda (p)=A{e}^{-Bp}$。

经典动态定价问题（ Gallego and van Ryzin）

假设 $\lambda (p)$ 是已知的，给定一个价格策略 $p(t)$, 就为顾客到达过程 $N(t)$ 指定了一个到达速率 $\lambda (t)$，进而得到一个（依赖于 $p(t)$）的概率测度 $\mathbb{P}$，在此测度下 $N(t)$ 是一个速率为 $\lambda (t)$ 的计数过程。

问题模型：
$$\underset{p(\cdot )}{\max }{\mathbb{E}}_{\mathbb{P}}\left[{\int }_0^{T}p(t)dN(t)\right]$$$$\text{s.t.}{\int }_0^{T}dN(t)\le c$$ $$p(\cdot )\in \mathcal{U}$$
其中
U = { p ( t ) = [ p ( t , 0 ) , p ( t , 1 ) , ⋯   , p ( t , c ) ] ∣ p ( ⋅ , n ) : [ 0 , T ] → [ 0 , p ˉ ] 在 [ 0 , T ] 可测且非负 } \mathcal{U} = \{p(t)=[p(t,0),p(t,1),\cdots,p(t,c)] \Big | p(\cdot, n) : [0,T] \rightarrow [0,\bar{p}] \text{在} [0,T] \text{可测且非负}\} U={p(t)=[p(t,0),p(t,1),⋯,p(t,c)]∣∣∣​p(⋅,n):[0,T]→[0,pˉ​]在[0,T]可测且非负}

不确定性

在现实中，对于给定的定价策略 $p(t)$，控制客户实际到达的度量可能不是 $\mathbb{P}$，而是一些其他测度 $\mathbb{Q}$。等价地说，依赖于$p(\cdot )$ 的实际顾客到达速率通常不是 $\lambda (t)$，而是其它某个 ${\mathcal{F}}_t$-可预测过程 $\beta (t)$。