乘法逆元及其应用（一）

最近学会了乘法逆元，有做了几道题，才发现乘法逆元在有除法又要取模的题目中非常有用。

乘法逆元

1.定义
若整数$b,m$互质，并且$b|a$，则存在一个整数$x$，使得$a/b\equiv a\ast x(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$。称$x$为$b$的模m乘法逆元，记为$b^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$。

2.证明
因为$a/b\equiv a\ast b^{-1}\equiv a/b\ast b\ast b^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，所以$b\ast b^{-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$。
如果$m$是质数（此时我们用符号$p$代替$m$）并且$b<p$，根据费马小定理，$b^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，即$b\ast b^{p-2}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。因此，当模数p为质数时，$b^{p-2}$即为$b$的乘法逆元。

3.用处
有了乘法逆元，在遇到有$a/b$的计数类问题中，只需要求出乘法元，然后直接$a\ast x$即可。

乘法逆元的应用

给一道题
POJ1845
题目描述
【题意】
Consider two natural numbers A and B. Let S be the sum of all natural divisors of A^B. Determine S modulo 9901 (the rest of the division of S by 9901).
题目关于两个自然数A和B。S是所有A^B的自然数因子的和。输出S模以9901（就是S除以9901的余数）

【输入格式】
The only line contains the two natural numbers A and B, (0 <= A,B <= 50000000)separated by blanks.
只有一行，两个用空格隔开的自然数A和B（0<=A,B<=50000000）

【输出格式】
The only line of the output will contain S modulo 9901.
只有一行，S模以9901

【样例输入】
2 3

【样例输出】
15

【提示】
2^3 = 8.
The natural divisors of 8 are: 1,2,4,8. Their sum is 15.
15 modulo 9901 is 15 (that should be output).
8的自然数因子有：1,2,4,8。它们的和是15。
15模以9901就是15。

我们直接分解A的质因数，表示为$A=p_1^{c_1}\ast p_2^{c_2}\ast ...\ast p_n^{c_n}$。所以$A^B$的所有约数之和为：$(1+p_1+p_1^2+...+p_1^{B\ast c_1})\ast (1+p_2+p_2^2+...+p_2^{B\ast c_2})\ast ...\ast (1+p_3+p_3^2+...+p_3^{B\ast c_3})$。
上式的每一项都是一个等比数列。以第一项为例，$(1+p_1+p_1^2+...+p_1^{B\ast c_1})=(p_1^{B\ast c_1+1}-1)/(p_1-1)$。
发一波等比数列求和的推导公式

所以我们可以先用快速幂计算分子$(p_1^{B\ast c_1+1}-1)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9901$ 和分母 $(p_1-1)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9901$。因为9901时质数，只要$p_1-1$不是9901的倍数，就只需要计算$p_1-1$的乘法逆元$inv$，用乘$inf$代替除以$(p_1-1)$，直接计算出等比数列求和公式的结果。
特别的，若$p_1-1$是9901的倍数，此时乘法逆元不存在，但是$p_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9901=1$，所以$1+p_1+p_1^2+...+p_1^{B\ast c_1}\equiv 1+1+1^2+...+1^{B\ast c_1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9901)$。

参考代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a, b, m, ans = 1, mod = 9901;
int p[20], c[20];

void divide(int n) {
    m = 0;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            p[++m] = i, c[m] = 0;
            while (n % i == 0) n /= i, c[m]++;
        }
    }
    if (n > 1)
        p[++m] = n, c[m] = 1;
}

int power(int a, long long b) {
	int c = 1;
	for (; b; b >>= 1) {
		if (b & 1) c = (long long)c * a % mod;
		a = (long long) a * a % mod;
	}
	return c;
}

int main() {
	cin >> a >> b;
	divide(a); // 分解质因数 
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		if ((p[i] - 1) % mod == 0) { // 没有逆元时，特判 
			ans = ((long long)b * c[i] + 1) % mod * ans % mod;
			continue;
		}
		int x = power(p[i], (long long)b * c[i] + 1); // 分子
		x = (x - 1 + mod) % mod;
		int y = p[i] - 1; // 分母 
		y = power(y, mod - 2); // 根据费马小定理求乘法逆元
		ans = (long long)ans * x % mod * y % mod;
	}
	cout << ans <<endl;
}