算法导论 练习 2.3-3

题目：

数学归纳法证明：当$n$是$2$的整数幂时，递归式
$T(n)=\begin{cases} 2& \text{ if } n=2 \\\\ 2T(n/2)+n& \text{ if } n=2^{k},k>1 \end{cases}$

的解为：$T(n)=nlgn$

证明：

假设：$T(n)=nlgn$ 成立

当 $n=2$ 时，$T(2)=2*lg2=2$ 成立

当 $n=2^{k}$ 时：

$T(2n) = 2T(n)+2n = 2nlgn+2n= 2n(1+lgn)=2n(lg2+lgn)=2nlg2n$

证毕