素数筛法

                         素数筛法

  

基本概念：

质数（prime number）又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数称为质数。

而在ACM比赛当中经常遇到需要使用大量既定的素数，或者判定素数，或者应用于唯一分解定理当中。

介绍与证明：

厄拉多塞是一位古希腊数学家，他在寻找素数时，采用了一种与众不同的方法：先将2－N的各数放入表中，然后在2的上面画一个圆圈，然后划去2的其他倍数；第一个既未画圈又没有被划去的数是3，将它画圈，再划去3的其他倍数；现在既未画圈又没有被划去的第一个数是5，将它画圈，并划去5的其他倍数……依次类推，一直到所有小于或等于N的各数都画了圈或划去为止。这时，表中画了圈的以及未划去的那些数正好就是小于 N的素数。

这很像一面筛子，把满足条件的数留下来，把不满足条件的数筛掉。由于这种方法是厄拉多塞首先发明的，所以，后人就把这种方法称作厄拉多塞筛法。
在计算机中，筛法可以用给数组单元置零的方法来实现。具体来说就是：首先开一个数组：a[i]，i=1，2，3，…，同时，令所有的数组元素都等于下标值，即a[i]=i，当i不是素数时，令a[i]=0 。当输出结果时，只要判断a[i]是否等于零即可，如果a[i]=0，则令i=i+1，检查下一个a[i]。
筛法是计算机程序设计中常用的算法之一。

算法实现：

 如果要是按照一个一个判断是否是素数，时间复杂度为O(n√n)，对于10^6的数据时间复杂度就是O(10^9)，必定会TLE，但此时“筛法”的时间复杂度只有O(nloglogn)。（埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛法”，简称“筛法”）

（1）最初的筛法：

可输入实现版：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 100005

int prime[maxn];     //第i个素数
bool isprime[maxn+10];
int n;

int main()
{
    while(cin>>n)
    {
        int p=0;
        memset(isprime,1,sizeof(isprime));
        isprime[0]=isprime[1]=0;
        for(int i=2; i<=n; i++)
        {
            if(isprime[i])
            {
                prime[++p]=i;
                for(int j=2*i; j<=n; j+=i)   //待优化
                    isprime[j]=0;
            }
        }
        for(int i=0; i<=n; i++)
            cout<<isprime[i];
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

核心代码段：

        int p=0;
        memset(isprime,1,sizeof(isprime));
        isprime[0]=isprime[1]=0;
        for(int i=2; i<=n; i++)
        {
            if(isprime[i])
            {
                prime[++p]=i;
                for(int j=2*i; j<=n; j+=i)   //待优化
                    isprime[j]=0;
            }
        }

手动地模拟原始筛法就可以发现，某个数字可能被不止一次地删去，我们可以进一步优化，去除不必要的重复。

（2）优化后的筛法：

可输入实现版：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
#define maxn 100005
    int n;
    bool isprime[maxn];
    int prime[maxn];     //第i个素数

int main()
{
    while(cin>>n)
    {
        int p=0;
        isprime[0]=isprime[1]=0;
        isprime[2]=1;
        for(int i=3; i<=n; i++)    //先排偶
            isprime[i]=i%2==0?0:1;
        int tmp=(int)sqrt(n+0.5);
        for(int i=0; i<=tmp; i++)
            if(isprime[i])
            {
                prime[++p]=i;
                for(int j=i*i; j<n; j+=2*i)  //已优化
                    isprime[j]=0;
            }
        for(int i=0; i<=n; i++)
            cout<<isprime[i];
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

核心代码段：

 

        int p=0;
        isprime[0]=isprime[1]=0;
        isprime[2]=1;
        for(int i=3; i<=n; i++)    //先排偶
            isprime[i]=i%2==0?0:1;
        int tmp=(int)sqrt(n+0.5);
        for(int i=0; i<=tmp; i++)
            if(isprime[i])
            {
                prime[++p]=i;
                for(int j=i*i; j<n; j+=2*i)  //已优化
                    isprime[j]=0;
            }

* 还有其他类型的筛法，比如说二次筛法，数域筛法等，这里就不提及了。

推荐习题： HDU2012 、 HDU3792

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