最优二叉树-哈夫曼树

本文介绍了最优二叉树,又称哈夫曼树,是一种带权路径长度最短的二叉树。哈夫曼树的构造通过不断合并权值最小的结点来实现。文章详细讲解了路径和路径长度、结点的权及带权路径长度、树的带权路径长度等概念,并给出了构造哈夫曼树的具体步骤,以6个带权叶子节点为例展示了构造过程。

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关于最优二叉树, 一开始看书 , 做题 还是蒙的 后来多做几题大致就懂得了 , 百度百科给出的官方定义:

给定N个权值作为N个叶子结点,构造一棵二叉树,若该树的带权路径长度达到最小,称这样的二叉树为最优二叉树,也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。哈夫曼树是带权路径长度最短的树,权值较大的结点离根较近。

哈夫曼树又称为最优树.
关于几个名词的解释如下:

1、路径和路径长度

在一棵树中,从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路,称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1,则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。

2、结点的权及带权路径长度

若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值,则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为:从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。

3、树的带权路径长度

树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和,记为WPL。

如何构造一个最优二叉树呢 ?

假设有n个权值,则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn,则哈夫曼树的构造规则为:

  • (1) 将w1、w2、…,wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点);
  • (2) 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并,作为一棵新树的左、右子树,且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和;
  • (3)从森林中删除选取的两棵树,并将新树加入森林;
  • (4)重复(2)、(3)步,直到森林中只剩一棵树为止,该树即为所求得的哈夫曼树。

可能看文字 不太能理解, 直接上图:
eg: 我们现在给定6个叶子节点 a, b, c, d, e, f , 分别带权 8, 3, 4, 16, 14, 9, 用这些叶子节点 构造一颗哈夫曼树
一开始的时候各个几点都是一

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