运筹学教学|十分钟快速掌握割平面法及对偶单纯形法（附Java代码及算例）

过去一段时间里小编一直接触启发式算法，自从学习了运筹学以后，就对运筹学的精确方法垂涎已久，像什么单纯形法啦，分支定界啦，割平面啦… 就在小编一边做梦一边睡大觉的时候，boss发来一个任务：用割平面法求解混合整数规划问题。于是小编马上从床上跳起来，挑灯夜战为大家整出了这个代码…

内容提要：

1. 混合整数规划问题；
2. 单纯形法和对偶单纯形法；
3. 割平面法；
4. 割平面法Java代码。

什么是混合整数规划

混合整数规划问题（Mixed Integer Programming，MIP）属于线性规划的一种。关于线性规划，过去的推文里我们有介绍过，还不懂的同学可以参考这篇推文：

运筹学教学|十分钟快速掌握单纯形法（附C++代码及算例）

整数规划，顾名思义，就是优化问题里的变量要求取整数。比如老板们要雇佣咱们打工人，只能雇佣整数个，不能雇佣半个。混合整数规划，就是决策变量即有整数又有小数，比如买西瓜，可以买半个，也可以买一个、两个。

在线性规划模型中，我们直接用“整数”两个大字来描述这种约束。

解决整数规划问题要比解决一般线性规划问题困难得多，因为整数部分的处理无法用简单的大于、小于号描述，只能简单粗暴的检查解是否有小数部分。现在还没有已知的多项式时间算法来解决广义的MILP问题。

常见的解决MIP的方法有分支定界法和割平面法。有关分支定界法可以看这些推文的介绍：

干货 | 10分钟带你全面掌握branch and bound（分支定界）算法-概念篇
干货 | 10分钟搞懂branch and bound算法的代码实现附带java代码
干货 | 10分钟教你用branch and bound（分支定界）算法求解TSP旅行商问题
运筹学教学|分枝定界求解旅行商问题

单纯形法和对偶单纯形法

在介绍割平面法前，我们还要介绍两种基本方法：对偶单纯形法和单纯形法。

有关单纯形法，也是很基础的知识啦，不懂的照惯例回去看上面的推文。

这里小编简单介绍下对偶单纯形法。

对偶单纯形法是用来补充纯粹的单纯形法无法解决特殊问题的缺陷。而且对偶单纯形法更加“强大”，因为它可以在等式右端(b)为负值时直接求解，这也是选择使用它的大多数场景。

我们直接用这个例子来看：

单纯形法当然还是有单纯形表，不过在新的单纯形表中，本来在右侧的theta栏变到的下侧。

每次更新单纯形表时，我们先从最右侧的B^-1b一栏找到最小的负数（如果都为正数，则最优解以找到），确定为第y行；
第二，依照单纯形法的方法更新检验数；
第三，对第y行的所有小于0的数，计算theta = 检验数 / 对应的y值，取最小的theta，记为第x行。
最后，用单纯形法同样的方法，将x列对应的变量入基，y行对应的变量出基。

不断迭代，知道所有B^-1b都大于0。

怎么样，是不是很简单呢~

割平面法

无论是分支定界还是割平面法，解决整数约束的方法只有一个：“看”解中的变量是否为整数。

分支定界和割平面法利用各自的方法不断增加约束、缩小解空间，再通过单纯形法得出新的解空间下的最优解，最后判断新解是否为整数，不是则继续迭代。

割平面法利用每次新解里的非整数部分得到一个新的不等式。具体来说，就是这样的东西：