【机器学习】交叉熵为什么能当损失函数

最新推荐文章于 2024-04-14 18:29:50 发布

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本文解释了交叉熵作为损失函数的原因，证明了最小化交叉熵等价于最小化KL散度，阐述了两者在衡量分布差异上的作用。

交叉熵为什么能当损失函数？因为最小化交叉熵与最小化KL散度等价。KL散度越小，说明两个分布越接近。

下面证明最小化交叉熵与最小化KL散度等价。

证明：

A的熵的公式：

$S(A) = -\sum_{i}P_A(x_{i})logP_A(x_{i})$

A与B KL散度的公式：

$\begin{equation*} D_{KL}(A||B) = \sum_{i}P_{A}(x_i) log\bigg(\frac{P_{A}(x_i)}{P_{B}(x_i)} \bigg) = \sum_{i}P_{A}(x_i)log(P_{A}(x_i ))- P_{A}(x_i)log(P_{B}(x_i)) \end{equation*}$

A与B交叉熵的公式：

$\begin{equation*} H(A,B)= -\sum_{i}P_{A}(x_i)log(P_{B}(x_i)) \end{equation*}$

因此，Ａ与Ｂ的交叉熵＝Ａ与Ｂ的KL散度 - Ａ的熵

A的熵表示真实数据的熵，该值固定。所以最小化Ａ与Ｂ的交叉熵和最小化Ａ与Ｂ的KL散度等价。

p.s. 熵是一种衡量信息不确定性的指标，熵越小，不确定性越小。

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