图的同态Graph Homomorphism与同构Graph Isomorphism

• 图的同态Graph Homomorphism

图的同态（Graph Homomorphism）是图论中的一个重要概念，用于描述图之间的一种映射关系。图的同态描述了一个图如何通过映射保留其边的结构。

### 图的同态定义

设有两个图 \( G = (V_G, E_G) \) 和 \( H = (V_H, E_H) \)。一个从图 \( G \) 到图 \( H \) 的映射 \( f: V_G \to V_H \) 被称为图的同态，如果对于 \( G \) 中的每一条边 \( (u, v) \in E_G \)，在 \( H \) 中对应的边 \( (f(u), f(v)) \) 也在 \( E_H \) 中，即：
\[ \forall (u, v) \in E_G, (f(u), f(v)) \in E_H \]

这个定义意味着，图的同态映射保留了边的存在性，但不要求完全保留顶点间的连接关系。

### 例子

#### 例子 1：简单图的同态

**图 \( G \)（完全图 \( K_3 \)）**：
- 顶点集合 \( V_G = \{a, b, c\} \)
- 边集合 \( E_G = \{(a, b), (b, c), (c, a)\} \)

**图 \( H \)（具有两个顶点和一条边的图）**：
- 顶点集合 \( V_H = \{x, y\} \)
- 边集合 \( E_H = \{(x, y)\} \)

**映射 \( f \)**：
- \( f(a) = x \)
- \( f(b) = x \)
- \( f(c) = y \)

**验证同态**：