博弈论基础

最新推荐文章于 2024-05-08 10:04:38 发布

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本文介绍了博弈论的基础知识，包括巴什博弈的必胜策略，解释了威佐夫博弈中奇异局势与黄金分割率的联系。通过分析不同局势，揭示了博弈的胜负规律，如SG函数在组合博弈中的应用，并探讨了如何将图上的博弈转化为树上博弈进行求解。

巴什博弈

必胜策略，第一回合消去余数，此后每次保持两个人轮流取一回合的石子数量维持在 $m+1$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,m; 
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	if(n%(m+1)) printf("Second");
	else printf("First");
	return 0; 
}

威佐夫博弈

补充解释一下：我们可以保证，所有 $1 -> n$ 的数都会在奇异局势中出现一次，因此不是在 $a_k$ 位置就是在 $b_k$ 位置，而且性质就是 $b_k=a_k+k$

分析我们会发现，每种奇异局势的第一个值总是等于当前局势的差值乘上1.618

我们都知道0.618是黄金分割率。而威佐夫博弈正好是1.618，妙蛙

板子背景：第一堆有 $n$ 个石子，第二堆有 $m$ 个石子，其余同上：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	if(n>m) swap(n,m);
	//sqrt(5.0)可应用于精度较高的题目 
	if(floor((1+sqrt(5))/2*(m-n))==n) printf("Second");
    else printf("First");
	return 0;
}

必胜必败局面搜索

通常必败点和必胜点均能搜索得到，因为双方策略都是最优的

SG函数
组合博弈游戏

Nim的板子：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<string>
#include<queue>
#include<set>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=100005;
#define fabs(x) x>0?x:-x
inline int read()
{
	int x=0,y=1; char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') y=-1; c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x*y;
}
int a[maxn],n;
int sum=0;
int main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i]=read();
		if(!sum) sum=a[i];
		else sum^=a[i];
	}
	if(sum!=0) printf("1");
	else printf("2");
	return 0;
}