差分约束系统

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于 2021-08-19 13:49:01 发布

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分类专栏：板子文章标签：差分约束

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差分约束系统是一种特殊的n元一次不等式，包含n个变量 $x_1 \rightarrow x_{n}$ ，以及m个约束条件，每个约束条件由两个变量做差构成的，形如： $x_{i} -x_{j}\leq c_{k}$ ，其中 $c_{k}$ 是常数， $c_{k} \in \mathbb{ Z }$

常规约束条件为： $x_{i} - x_{j}\leq c_{k}$ ，可变形为 $x_{i} \leq x_j +c_{k}$ ，和最短路进行更新扩展的不等式很相似

因此可以把每个变量 $x_i$ 看作一个节点 $i$ ，对于每个约束条件，从 $x_j$ 向 $x_i$ 连一条边权为 $c_{k}$ 的边

感性理解，在跑最短路时，会按照变形后的不等式扩展。符合条件

若图中存在负环，则给定差分约数系统无解，否则 $x_{i} = dis[i]$ 就是满足条件的一组解

在如上不等式为小于等于形式跑最短路，因为得到一组解后，不论加几都满足条件，求最短即可

同时若为不等号朝右的形式，改为计算单源最长路

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