hdu1757 - A Simple Math Problem 矩阵快速幂

今天学矩阵突然开窍了

总结一下就是，矩阵乘法是没有实际意义的
（这里的意思是，在现实中找不到对应的东西，这是一个纯数学方法）
而且把原本普通算数可以做的事情转变成矩阵乘法是多此一举
比如说把点(x,y)左右平移10个单位，非常简单地可以想到变换后的坐标是(x+10,y)或者(x-10,y)。那为什么要用一个矩阵去表示这种变换呢？

因为矩阵乘法有结合律！
说点实际例子。

1. 假设不使用矩阵乘法，那么平移之后，又想要进行旋转，颠倒等等一系列操作。 你可能说，接着算呗

   那好，算完了 我给你第二个点，干刚才同样的事情 是不是又得从头到尾再算一遍？万一再给你一槽的点，是不是瞬间爆炸

   那如果我们用矩阵乘法呢？ 我们知道，平移可以用矩阵表示 实际上，旋转，缩放，翻转等，都可以用矩阵表示 具体怎么构造这些矩阵，问度娘。

   那么假设原来的点坐标存放在矩阵x中（乘号右边一般都是列向量，乘号左边是则是行向量，这里假设变换矩阵都左乘）

   那么乘以平移矩阵A，得到AX 乘以旋转矩阵B，得到BAX…… …… 处理到最后，假设结果变成FEDBCAX，别忘了我们是从右往左算的

   但是他有结合律，这意味着我们可以改变计算顺序，先计算FEDBCA，再和X乘，得到的结果是相同的

   以后要对另一个坐标做相同变换，我们只需要用计算好的FEDBCA再去左乘它就可。

2. 假设我们要干同一件事情，但是没有很快的方法直接算到终点（比如说这题，一个数和前面的数有关系，还有斐波拉契等类似的数列），等下讲解。

上面是矩阵乘法的个人认识，
说回题目

面对这些数列题目，在学过矩阵快速幂之后都可以用矩阵快速幂来做了
这些题目的特点就是递推公式可以用变换矩阵表示出来。

表示成变换矩阵之后，递推n次其实就是左乘或者右乘 变换矩阵的n次幂

对于一个整形数，有如下快速幂黑科技，具体就不说了

int QuickPow(int B ,int k)
{
    int ans(1);
    while (k)
    {
        if (k&1)
            ans=ans*B%MOD;
        k>>=1;
        B = B*B %MOD ;
    }
    return ans;
}

快速幂的计算方法，是需要结合律的
矩阵乘法正好满足结合律

然后……就可以套上快速幂，变身矩阵快速幂
简直不要太神奇

再说回题目，题目的递推公式是
If x < 10 f(x) = x.
If x >= 10 f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10);

那么我们做一个变换矩阵A，使得一个列向量

$$\begin{pmatrix} f(x-1)\\ f(x-2)\\ f(x-3)\\ ……\\ f(x-10) \end{pmatrix}$$
右乘他之后，得到结果为
$$\begin{pmatrix} f(x)\\ f(x-1)\\ f(x-2)\\ ……\\ f(x-9) \end{pmatrix}$$

然后求出矩阵A的k-9次幂，一乘，是不是结果就出来了？
构造出的矩阵A如下，具体构造方法，我目前只会凑233

$$\begin{pmatrix} a0&a1&a2&a3&……&a9\\ 1\\ &1\\ &&1\\ &&&1\\ &&&&……\\ \end{pmatrix}$$

矩阵是瞎写的，不要在意，我很喜欢用const 233

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;


#define ll long long
//Template mat
//Interface here
#define MULMOD
//Use Matrix(int row,int cow) to define a new EMPTY matrix
//Use Matrix(int n) to define a n*n identity matrix
//Use define MULMOD and set MOD to ENABLE MOD
#define MAXROWS 10
#define MAXCOLS 10
#ifdef MULMOD
int MOD;
#endif
//Interface End

struct Matrix
{
    int Rows,Cols;
    ll data[MAXROWS][MAXCOLS];
    void clear()
    {
        memset(data,0,sizeof(data));
    }
    Matrix (int n,int m)
    :Rows(n),Cols(m)
    {
        clear();
    }
    Matrix (int n)
    :Rows(n),Cols(n)
    {
        clear();
        for (int i=0;i<n;i++)
            data[i][i]=1;
    }
    ll* operator[](const int n)
    {
        return data[n];
    }
    Matrix operator* (const Matrix& ano) const
    {
        Matrix result(Rows,ano.Cols);
        for (int i=0;i<Rows;i++)
            for (int j=0;j<ano.Cols;j++)
                for (int k=0;k<Cols;k++)
                {
                    #ifdef MULMOD
                    result[i][j] += data[i][k] * ano.data[k][j] % MOD;
                    result[i][j]%=MOD;
                    #else
                    result[i][j] += data[i][k] * ano.data[k][j];
                    #endif
                }
        return result;
    }
};
Matrix QuickMatrixPow(Matrix to ,int k)
{
    Matrix ans(to.Rows);
    for (int i=0;i<10;i++)
        ans[i][i]=1;
    while (k)
    {
        if (k&1)
            ans=ans*to;
        k>>=1;
        to = to*to;
    }
    return ans;
}
//Template mat end


int main()
{
    cin.sync_with_stdio(false);
    Matrix a(10,10);
    Matrix f0(10,1);
    int k,m;
    while (cin>>k>>m)
    {
        a.clear();
        f0.clear();
        MOD=m;
        for (int i=0;i<10;i++)      //构造左乘矩阵
        {
            cin>>a[0][i];
            f0[i][0]=9-i;
        }
        for (int i=0;i<9;i++)
            a[i+1][i]=1;

        if (k<10)
        {
            cout<<f0[9-k][0]%m<<endl;
            continue;
        }
        //左乘一次得f(10) f(9) f(8) ……f(1)的矩阵
        //两次  f(11) f(10) …… f(2)
        //所以要计算f(k)，需要左乘 k-9次
        //计算左乘的k-9个矩阵
        cout <<( QuickMatrixPow(a,k-9) * f0)[0][0] %m <<endl;
    }
}