最大公共子序列

最长公共子序列

对第六章的动态规划进行短小的实验总结。来源poj1458

要求：给出两个字符串，求出这样一个最长的公共子序列的长度：并且子序列中的每个字符的先后顺序和原串中的先后顺序一致。

先将前置的类声明

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
char sz1[1000];
char sz2[1000];
int maxLen[1000][1000];

该问题的难点在于如何判断每一段的公共子序列是否一致。先从声明字符串的长度起始，判断第一项的最长子序列。

int length1 = strlen(sz1);
		int length2 = strlen(sz2);
		int nTmp;
		int i, j;
		for (i = 0; i < length1; i++)
			maxLen[i][0] = 0;
		for (j = 0; j < length2; j++)
			maxLen[0][j] = 0;

当函数起始的时候，每一段的0开头的公共子序列都为0，因为一方为零不可能存在字符。

for (i = 1; i <= length1; i++) {
			for (j = 1; j <= length2; j++) {
				if (sz1[i - 1] == sz2[j - 1])
					maxLen[i][j] = maxLen[i - 1][j - 1];
				else
					maxLen[i][j] = max(maxLen[i][j - 1], maxLen[i - 1][j]);
			}
		}

该段为此题重点

当sz1的字符串i位置的字符等于sz2的字符串j位置的字符时，就考虑到最大公共子序列的数值增加，因为无论在i的前面或者是j的前面都没有到达这个长度c(最大公共子序列)，因此我们进行maxLen[i][j] = maxLen[i - 1][j - 1];的运算。
而当这两个位置的字符不相等的时候，需要进行考虑
于此同时我们得知maxLen[i][j] 不会比maxLen[i][j-1]和maxLen[i-1][j]任何一个小，也不会比两个都大。首先因为右边两个的运算长度本身就比左边要短，所以左边的c长度不可能小于右边。同理，左边的c长度要大于右边的c其中之一的长度，但不能同时大于，比方说大于[i-1]也就是说明他的最大公共子序列在i处依旧会运行，i处是有效的，相似的j处也是有效的，但是我们此时的要求为sz1的i处不等于sz2的j处，而两处有效显然是说明这两处相等，因此该条件不成立。我们能得到此时的最长公共子序列在二者之一的大值。

以下为全局代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
char sz1[1000];
char sz2[1000];
int maxLen[1000][1000];
int main() {
	while (cin >> sz1 >> sz2) {
		int length1 = strlen(sz1);
		int length2 = strlen(sz2);
		int nTmp;
		int i, j;
		for (i = 0; i < length1; i++)
			maxLen[i][0] = 0;
		for (j = 0; j < length2; j++)
			maxLen[0][j] = 0;
		for (i = 1; i <= length1; i++) {
			for (j = 1; j <= length2; j++) {
				if (sz1[i - 1] == sz2[j - 1])
					maxLen[i][j] = maxLen[i - 1][j - 1];
				else
					maxLen[i][j] = max(maxLen[i][j - 1], maxLen[i - 1][j]);
			}
		}
		cout << maxLen[length1][length2] << endl;
	}
	return 0;
}

题目的复杂度为O(1000*1000)，所以不会出现超时。
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