poj 1821单调队列优化dp

poj 1821 Fence

题目大意有

一段长$n$的篱笆$(1\le N\le 16000)$需要$m$个人来刷 $(1\le K\le 100)$每个工人有$3$个属性$l,p,s$分别表示工人最多刷连续的$l$段篱笆，每刷一段可以得到$p$的回报，工人最初的位置在$s$工人必须刷连续的篱笆，并且要么不刷，刷就必须把自己面前的一段篱笆刷掉（面前的这一段也计入总费用）现在请你安排这$m$个工人，使他们的收益和最大

读入格式

第一行两个正整数$n,k$接下来的$k$行，每行$3$个正整数$l,p,s$

输出格式

输出一行正整数表示工人们的最大收益。

思路

设计$dp$的状态$dp[i][j]表示前i个人刷到了第j个栅栏的最大代价$
转移：
$dp[i][j]$可以从$dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][k-1]+(j-k+1)\ast p_i$转移
$dp[i-1][j]$表示第j栅栏不刷
$dp[i][j-1]$表示第$i$个人不刷$j$
$dp[i-1][k]+(j-k+1)$第$i$个人从$k$开始一直刷到$j$(其中$k$需要枚举)
这个样子就得到正确答案了
但是考虑到第$3$种转移最差可能使$O(N)$的
这样总体复杂度可能会达到$O(m\ast n^2)$
所以我们需要将$dp$优化

先放上未经优化的$dp$代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int read()
{
	int r,s=0,c;
	for(;!isdigit(c=getchar());s=c);
	for(r=c^48;isdigit(c=getchar());(r*=10)+=c^48);
	return s^45?r:-r;
}
const int N=110,L=16100;
int n,m;
struct node
{
	int l,p,s;
}a[N];
bool cmp(node a,node b)
{
	return a.s<b.s;
}
int dp[N][L];
int main()
{
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)
		a[i].l=read(),a[i].p=read(),a[i].s=read();
	sort(a+1,a+1+m,cmp);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-1]);//这块不刷
 			dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j]);//这个人不刷
 			if(j<a[i].s)continue;
 			for(int k=max(1,a[i].s-a[i].l);k<=a[i].s;k++)
 			{
 				if((j-k+1)>a[i].l)continue;
 				dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][k-1]+(j-k+1)*a[i].p);
 			}
 		}
 	}
 	printf("%d\n",dp[m][n]);
 	return 0;
}

优化

我们再次看一下转移:
$dp[i-1][j]$表示第j栅栏不刷
$dp[i][j-1]$表示第$i$个人不刷$j$
$dp[i-1][k]+(j-k+1)$第$i$个人从$k$开始一直刷到$j$(其中$k$需要枚举)
这样只有第$3$种转移方式可以优化
我们把第$3$种变一下型可以得到dp[i][j]=max{dp[i−1][k−1]−k∗pi}+(j+1)∗pidp[i][j]=max \{ {dp[i-1][k-1]-k*p_i} \}+(j+1)*p_idp[i][j]=max{dp[i−1][k−1]−k∗pi​}+(j+1)∗pi​
这个样子就可以进行单调队列的优化了

将单调队列优化分成$3$段
$1、$$1$ 到 $s_i-1$只进入单调队列不转移
$2、$$s_i$既进入单调队列也转移
$3、$$s_i+1$到$n$只转移不进入单调队列

注意：要将不符合条件的状态及时清出单调队列，只有当队列不为空的时候才能转移

下面附上单调队列优化过后的$AC$代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int read()
{
 	int r,s=0,c;	
 	for(;!isdigit(c=getchar());s=c);
 	for(r=c^48;isdigit(c=getchar());(r*=10)+=c^48);
 	return s^45?r:-r;
}
const int N=110,L=16100;
int n,m;
struct node
{	
	int l,p,s;
}a[N];
bool cmp(node a,node b)
{	
	return a.s<b.s;
}
int dp[N][L];nt q[L],f,b;
int main()
{
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)
 		a[i].l=read(),a[i].p=read(),a[i].s=read();
	sort(a+1,a+1+m,cmp);
	for(int i=1;i<=m;i++)
 	{
 		f=1,b=0;
 		for(int j=1;j<a[i].s;j++)
 		{
  			dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-1]);//这块不刷 
  			dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j]);//这个人不刷 
   			while((f<=b)&&(j-q[f]+1>a[i].l))f++;
   			while((f<=b)&&(dp[i-1][q[b]-1]-q[b]*a[i].p<=dp[i-1][j-1]-j*a[i].p))b--;
   			q[++b]=j;
  		}
 		dp[i][a[i].s]=max(dp[i][a[i].s],dp[i][a[i].s-1]);//这块不刷 
 		dp[i][a[i].s]=max(dp[i][a[i].s],dp[i-1][a[i].s]);//这个人不刷 
 		while((f<=b)&&(a[i].s-q[f]+1>a[i].l))f++;	
		while((f<=b)&&(dp[i-1][q[b]-1]-q[b]*a[i].p<=dp[i-1][a[i].s-1]-a[i].s*a[i].p))b--;
 		q[++b]=a[i].s;
 		dp[i][a[i].s]=max(dp[i][a[i].s],dp[i-1][q[f]-1]-q[f]*a[i].p+(a[i].s+1)*a[i].p);
 		for(int j=a[i].s+1;j<=n;j++)
 		{
  			dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-1]);//这块不刷 
  			dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j]);//这个人不刷 
  			while((f<=b)&&(j-q[f]+1>a[i].l))f++;
  			if(f<=b)
  				dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][q[f]-1]-q[f]*a[i].p+(j+1)*a[i].p);
 		}
	}
	printf("%d\n",dp[m][n]);
 	return 0;
}