集合奥数题

题目

集合A的元素都是正整数，其中最小的是1.最大的是100.除1以外，每一个元素都等于集合A中的两个数（可以相同）的和，求集合A的元素个数的最小值。

分析

100可以用两个50凑出，50可以用两个25凑出。25比较特殊，用24和1凑出。依此类推。

证明

假如元素个数为8
令A={1,a1,a2,a3,a4,a5,a6,100}
1<a1<a2<a3<a4<a5<a6<100
∵a1等于集合中两个数之和
∴a1=1+1=2
∴A={1,2,a2,a3,a4,a5,a6,100}
∵a2等于集合中两个数之和
∴a2=1+2=3或2+2=4
∴A={1,2,3,a3,a4,a5,a6,100}或{1,2,4,a3,a4,a5,a6,100}
Ⅰ.A={1,2,3,a3,a4,a5,a6,100}
同理a3=1+2=3或1+3=4或2+3=5
又∵a3>3∴a3=4或5
∴A={1,2,3,4,a4,a5,a6,100}或{1,2,3,5,a4,a5,a6,100}
Ⅱ.A={1,2,4,a3,a4,a5,a6,100}
同理a3=5或6
∴A={1,2,4,5,a4,a5,a6,100}或{1,2,4,5,6,a5,a6,100}
①A={1,2,3,4,a4,a5,a6,100}
a4<=4+4=8
a5<=a4+a4<=16
a6<=a5+a5<=32
a6+a6<=64<100无法实现

②A={1,2,3,5,a4,a5,a6,100}
a4<=5+5=10
a5<=a4+a4<=20
a6<=a5+a5<=40
a6+a6<=80<100无法实现

③A={1,2,4,5,6,a5,a6,100}
a4<=6+6=12
a5<=a4+a4<=24
a6<=a5+a5<=48
a6+a6<=96<100无法实现
综上，元素个数为8不成立
∴元素个数的最小值是9
构造如下：A={1,2,3,6,12,24,25,50,100}