二项分布&泊松分布&泊松过程&指数分布

二项分布&泊松分布&泊松过程&指数分布

过程：事物发展所经过的程序(processes)

-	分布的密度函数	期望	方差
B(n,P)	$$C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$	np	np(1-p)
P(λ)	$$\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$$	λ	λ
指数分布E(λ)	$$\lambda e^{-\lambda x}(x>=0),0(x<0)$$	$$\frac{1}{\lambda }$$	$$\frac{1}{{\lambda }^2}$$

假设n次事件“匀速发生”，引入时间变量t,np=λt

$$\frac{{(\lambda t)}^k{e}^{-\lambda t}}{k!}$$

$$\begin{gathered} 由此：直至时刻t,事件至少发生一次的概率1-e^{-\lambda t} \\ (因为至时刻t，一次未发生的概率是k=0,e^{-\lambda t}) \end{gathered}$$

$$对其(直至t时刻的分布函数)求导,\lambda e^{-\lambda t}(指数分布)为t时刻的发生概率$$
第一个，为指数分布的积分，即其（λe^{-λt}）满足分布密度的条件。

注：泊松分布均值的证明