理解 Batch Normalization

参考链接：
https://www.zhihu.com/question/38102762
https://zhuanlan.zhihu.com/p/26138673
https://blog.youkuaiyun.com/hjimce/article/details/50866313
https://blog.youkuaiyun.com/myarrow/article/details/51848285

###原理
BN的本质是解决了反向传播过程中的梯度消失问题。
####梯度消失/爆炸问题

• 前向传播：$$h_{l+1}=W_l{h}_l$$
• 反向传播：
  梯度求解的一般形式$$\frac{\partial L}{\partial h_i}=\frac{\partial L}{\partial h_l}\frac{\partial h_l}{\partial h_{l-1}}...\frac{\partial h_{i+1}}{\partial h_i}$$
  KaTeX parse error: No such environment: eqnarray at position 7: \begin{̲e̲q̲n̲a̲r̲r̲a̲y̲}̲ \frac{\parti…
  上式的结果为权重的连乘，我们知道：$0.9^{30}=0.04$ , $1.1^{30}=17.4$，这就解释了为什么会出现梯度消失和爆炸问题。

BN的实质是网络输出的变换。令x为某一卷积网络层的输出，则BN变换$Y=BN(x)$如下：
$$\bar{x}=\frac{1}{M}\sum _{i=i}^M{x}_i$$
$${\sigma }_x=\frac{1}{M}\sum _{i=i}^M(x_i-\bar{x}{)}^2$$
$$\hat{x}=\frac{x-\bar{x}}{\sqrt{{\sigma }_x+ϵ}}$$
$$Y=\gamma \hat{x}+\beta$$

那么BN是如何解决梯度消失和爆炸问题的呢？
主要思想：解决scale对梯度的影响，让BN变换至少具有能恢复原始数据的能力。
$$\frac{\partial Y_{l+1}}{\partial h_l}=\frac{\partial BN(h_{l+1})}{\partial h_l}=\frac{\partial BN(W_l{h}_l)}{\partial h_l}=\frac{\partial BN(\alpha W_l{h}_l)}{\partial h_l}$$
不管参数变化多大，传回上一层的梯度$\frac{\partial Y_{l+1}}{\partial h_l}$始终不变，不受尺度scale的影响。
$$\frac{\partial Y_{l+1}}{\partial W_l}=\frac{\partial BN(h_{l+1})}{\partial W_l}=\frac{\partial BN(W_l{h}_l)}{\partial W_l}=\frac{1}{\alpha }\frac{\partial BN(\alpha W_l{h}_l)}{\partial W_l}$$

对用于更新参数W的梯度$\frac{\partial Y_{l+1}}{\partial W_l}$，如果$W_l^{\prime }=\alpha W_l$, 则$grad(W^{\prime })=\frac{1}{\alpha }grad(W)$。如果$\alpha <1$，则$\frac{1}{\alpha }>1$ 说明尺度较大的参数会获得比较小的梯度；相反，尺度较小的参数会获得比较大的梯度，使得整个网络的参数更新变得更加稳健（所以我们最后参数会趋向于同样大小？）

###面试常问问题

• BN怎么回事？什么原理？
• BN中有两个参数 $\gamma$ 和 $\beta$后的均值和方差在训练和预测的时候需要怎么处理？

BN中有两个参数 $\gamma$ 和 $\beta$，这个两个参数怎么回事，有什么需要注意的？
这两个参数是可学习的参数。（其实每个BN都包含两个这样的参数）
训练的时候记录每个mini-batch的均值 $\mu$ 和方差 ${\sigma }^2$，最后在测试的时候，用均值 $\mu$ 和方差 ${\sigma }^2$的无偏估计来计算。
（在pytorch中，一般用momentum来更新Inference时使用的均值 $\mu$ 和方差 ${\sigma }^2$。具体来说，$x_{new}=x\ast (1-momentum)+momentim\ast x_t$
参考：https://pytorch.org/docs/stable/generated/torch.nn.BatchNorm2d.html）。

• BN和Hisssian矩阵的关系