[题解]—汉诺塔III,汉诺塔IV

最新推荐文章于 2023-12-27 20:47:54 发布

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本文详细解析了汉诺塔III和IV问题的算法思路及代码实现，包括不允许直接跨杆移动和允许最大盘放顶的特殊规则，通过递推式计算最少移动次数。

汉诺塔III

题目描述

约19世纪末，在欧州的商店中出售一种智力玩具，在一块铜板上有三根杆，最左边的杆上自上而下、由小到大顺序串着由64个圆盘构成的塔。目的是将最左边杆上的盘全部移到右边的杆上，条件是一次只能移动一个盘，且不允许大盘放在小盘的上面。
现在我们改变游戏的玩法，不允许直接从最左(右)边移到最右(左)边(每次移动一定是移到中间杆或从中间移出)，也不允许大盘放到下盘的上面。
Daisy已经做过原来的汉诺塔问题和汉诺塔II，但碰到这个问题时，她想了很久都不能解决，现在请你帮助她。现在有N个圆盘，她至少多少次移动才能把这些圆盘从最左边移到最右边？

Input

包含多组数据，每次输入一个N值(1<=N=35)。

Output

对于每组数据，输出移动最小的次数。

Sample Input

1
3
12

Sample Output

2
26
531440

解题思路：首先我们将N个圆盘时移动的过程描述清楚

将N-1个圆盘从最左边移动到最右边
将第N个圆盘从最左边移动到中间
将N-1个圆盘从最右边移动到最左边
将第N个圆盘从中间移动到最右边
将N-1个圆盘从最左边移动到最右边
由此我们可以得到递推式，假设N层塔从最左边移动到最右边总共需要挪动a(n)次，则递推式为

a(n) = a(n-1) + 1 + a(n-1) + 1 + a(n-1) = 3 * a(n-1) + 2

a(n-1)代表N-1个圆盘从最左移动到最右，也相当于从最右移动到最左
AC代码为

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int n;
    long long a[40] = {0, 2};//用于打表统计挪动的次数
    for(int i = 2; i <= 35; i++)
    {
        a[i] = 3*a[i-1] + 2;//递推式
    }
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        int m;
        printf("%lld\n", a[n]);
    }
    return 0;
}

汉诺塔IV

题目描述

还记得汉诺塔III吗？他的规则是这样的：不允许直接从最左(右)边移到最右(左)边(每次移动一定是移到中间杆或从中间移出)，也不允许大盘放到小盘的上面。xhd在想如果我们允许最大的盘子放到最上面会怎么样呢？（只允许最大的放在最上面）当然最后需要的结果是盘子从小到大排在最右边。

Input

输入数据的第一行是一个数据T，表示有T组数据。
每组数据有一个正整数n(1 <= n <= 20)，表示有n个盘子。

Output

对于每组输入数据，最少需要的摆放次数。

Sample Input

2
1
10

Sample Output

2
19684

解题思路：我们还是将N个圆盘的移动过程描述清楚

将N-1个圆盘从最左边移动至中间
将第N个圆盘从最左边移动至中间
将第N个圆盘从中间移动至最右边
将N-1个圆盘从中间移动至最右边
由此我们知道我们应将N个圆盘从最左边移动至中间的递推式写出我们才能写出N个圆盘从最左边移动至最右边的递推式
我们设从最左边移动至最右边的递推式为a(n)，从最右边移动至中间的递推式为b(n)
我们先来求解b(n)：b(n)为将N个圆盘从最右边移动至中间，那么我们继续分为几步
将N-1个圆盘从最左边移动至中间
将N-1个圆盘从中间移动至最右边
将第N个圆盘从最左边移动至中间
将N-1个圆盘从最右边移动至中间

所以我们可以写出递推式为

b(n) = b(n-1) + b(n-1) + 1 + b(n-1) = 3*b(n-1) + 1

代码实现为

for(int i = 2; i <= 20; i++)
    {
        b[i] = 3*b[i-1] + 1;
    }

于是我们可以根据圆盘移动求解a(n)

a(n) = b(n-1) + 1 + 1 + b(n-1) = 2 * (b(n-1) + 1)

所以代码就很好实现了！上代码！

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int t;
    long long a[25] = {0, 2}, b[25] = {0, 1};
    for(int i = 2; i <= 20; i++)
    {
        b[i] = 3*b[i-1] + 1;//b(n)先进行打表，以便求出a(n)
    }
    for(int i = 2; i <= 20; i++)
    {
        a[i] = 2*b[i-1] + 2;//根据递推式a(n)进行打表
    }
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        int m;
        scanf("%d", &m);
        long long ans;
        ans = a[m];
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}