2020 Multi-University Training Contest 3---- HDU--6796、X Number（dfs+计数类dp）

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/zhaoxinxin1234/article/details/107665750

博客介绍了如何解决一个数学计数问题，即在给定区间[l, r]内找到数位众数为d且唯一的数字个数。通过深度优先搜索（DFS）和动态规划（DP）相结合的方法，统计每个数位的出现次数，并计算满足条件的数字数量。文章提供了官方题解思路、代码实现和复杂度分析。" 5914659,878061,如何从drawable创建Bitmap并调整大小,"['Android开发', '图像处理', 'Bitmap操作', 'Canvas绘图', '资源管理']

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题目链接

题面：
在这里插入图片描述

题意：
求区间 $[l, r]$ 中的所有数，其数位众数为 $d$ ，且数位众数唯一的数的个数。

题解：
先看一下官方题解：
在这里插入图片描述

我们顺着官方题解的思路，如果当前没有前导0且数位取值没有限制，那么就说明剩下的数位可以任意取值。
我们统计出在有限制的情况下，每个数位出现的次数 $cnt[i],0\le i\le9$ ，假设当前求 $[0, r]$ 区间，区间众数为 $d$ 的数的个数（最终 $a n s (r) - a n s (l - 1)$ 即可）。

如果 $l i m i t （数位限制）$ 或者 $l e a d （有前导 0 ）$ ，那么就继续 $d f s$ 下去。

如果没有数位限制，且没有前导0，设此时已经记录了 $cnt[i],0\le i\le9$ ，且剩下的可以任意填数位数为 $l e n$ 。

我们枚举 $d$ 在剩下的可选任意数的位置上出现的次数，假设这个次数为 $cntd,0\le cntd \le len$ ，那么现在 $d$ 这个数位一共出现了 $c n t [d] + c n t d$ 次。

我们设 $d p [i] [j]$ 为除了这一位 $d$ 外，考虑了 $0 - 9$ 中前 $i$ 个数，且一共占据了 $j$ 位的方案数。

很明显初始化 $d p [0] [0] = c [l e n] [c n t d]$

$d p [i] [j]$ 的转移有， $dp[i][j]=\sum\limits_{k=0}^{min(j,cnt[d]+cntd-cnt[i-1]-1)}dp[i-1][j-k]*c[len-cntd-(j-k)][k]$ 。

对于 $cntd\space (0\le cntd \le len)$ ，每个 $c n t d$ 跑一遍 $d p$ ， $a n s + = d p [10] [l e n - c n t d]$

时间复杂度： $O (能过)$ 。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<list>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define llu unsigned ll
#define ld long double
#define pr make_pair
#define pb push_back
#define lc (cnt<<1)
#define rc (cnt<<1|1)
//#define len(x)  (t[(x)].r-t[(x)].l+1)
#define tmid ((l+r)>>1)
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x))
using namespace std;

const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll lnf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double dnf=1e18;
const int mod=1e9+7;
const double eps=1e-1;
const double pi=acos(-1.0);
const int hp=13331;
const int maxn=100100;
const int maxp=1100;
const int maxm=4000100;
const int up=1000;

ll cnt[10],dp[11][21],c[21][21],pos[20];
ll l,r,d;

ll dfs(int len,bool limit,bool lead)
{
    if(len==0)
    {
        for(int i=0;i<10;i++)
        {
            if(i==d) continue;
            if(cnt[i]>=cnt[d]) return 0;
        }
        return 1;
    }
    if(!limit&&!lead)
    {
        ll ans=0;
        for(int dd=0;dd<=len;dd++)//枚举剩下的位有多少个d
        {
            memset(dp,0,sizeof(dp));
            dp[0][0]=c[len][dd];
            for(int i=1;i<=10;i++)//考虑0-9的前i位
            {
                if(i-1==d)
                {
                    for(int j=0;j<=len-dd;j++)
                        dp[i][j]=dp[i-1][j];
                    continue;
                }
                for(int j=0;j<=len-dd;j++)
                    for(int k=0;k<=min(j,cnt[d]+dd-cnt[i-1]-1);k++)
                        dp[i][j]+=dp[i-1][j-k]*c[len-dd-(j-k)][k];
            }
            ans+=dp[10][len-dd];

        }
        return ans;
    }
    int up=limit?pos[len]:9;
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<=up;i++)
    {
        if(!lead||i) cnt[i]++;
        ans+=dfs(len-1,limit&&i==up,lead&&i==0);
        if(!lead||i) cnt[i]--;
    }
    return ans;
}

ll fi(ll x)
{
    int cnt=0;
    while(x)
    {
        pos[++cnt]=x%10;
        x/=10;
    }
    return dfs(cnt,true,true);
}


int main(void)
{
    c[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=20;i++)
    {
        c[i][0]=c[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
    }

    int tt;
    scanf("%d",&tt);
    while(tt--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&d);
        printf("%lld\n",fi(r)-fi(l-1));
    }
    return 0;
}

试一下记忆化。
也没快多少。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<list>
#define ui unsigned int
#define ll long long
#define llu unsigned ll
#define ld long double
#define pr make_pair
#define pb push_back
#define lc (cnt<<1)
#define rc (cnt<<1|1)
//#define len(x)  (t[(x)].r-t[(x)].l+1)
#define tmid ((l+r)>>1)
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x))
using namespace std;

const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll lnf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double dnf=1e18;
const int mod=1e9+7;
const double eps=1e-1;
const double pi=acos(-1.0);
const int hp=13331;
const int maxn=100100;
const int maxp=1100;
const int maxm=4000100;
const int up=1000;

ll dp[11][21],c[21][21],pos[20];
ll l,r,d;
vector<int>cnt(10,0);
map<vector<int>,ll>mp[20][2];


ll dfs(int len,bool limit,bool lead)
{
    if(!limit&&mp[len][lead].count(cnt)) return mp[len][lead][cnt];
    if(len==0)
    {
        for(int i=0;i<10;i++)
        {
            if(i==d) continue;
            if(cnt[i]>=cnt[d]) return mp[len][lead][cnt]=0;
        }
        return mp[len][lead][cnt]=1;
    }
    if(!limit&&!lead)
    {
        ll ans=0;
        for(int dd=0;dd<=len;dd++)//枚举剩下的位有多少个d
        {
            memset(dp,0,sizeof(dp));
            dp[0][0]=c[len][dd];
            for(int i=1;i<=10;i++)//考虑0-9的前i位
            {
                if(i-1==d)
                {
                    for(int j=0;j<=len-dd;j++)
                        dp[i][j]=dp[i-1][j];
                    continue;
                }
                for(int j=0;j<=len-dd;j++)
                    for(int k=0;k<=min(j,cnt[d]+dd-cnt[i-1]-1);k++)
                        dp[i][j]+=dp[i-1][j-k]*c[len-dd-(j-k)][k];
            }
            ans+=dp[10][len-dd];

        }
        return mp[len][lead][cnt]=ans;
    }
    int up=limit?pos[len]:9;
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<=up;i++)
    {
        if(!lead||i) cnt[i]++;
        ans+=dfs(len-1,limit&&i==up,lead&&i==0);
        if(!lead||i) cnt[i]--;
    }
    if(!limit) mp[len][lead][cnt]=ans;
    return ans;
}

ll fi(ll x)
{
    int cnt=0;
    while(x)
    {
        pos[++cnt]=x%10;
        x/=10;
    }
    return dfs(cnt,true,true);
}


int main(void)
{
    c[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=20;i++)
    {
        c[i][0]=c[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
    }

    int tt;
    scanf("%d",&tt);
    while(tt--)
    {
        for(int i=0;i<20;i++)
        {
            for(int j=0;j<2;j++)
                mp[i][j].clear();
        }
        scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&d);
        printf("%lld\n",fi(r)-fi(l-1));
    }
    return 0;
}