二分模版

之前二分一直用lower_bound，遇到麻烦的题不方便。仔细研究二分真的有很多细节的点。

• 二分模板一共有两个，主要看mid在期望答案的右边还是左边
• 二分过程全部使用右移运算>>1而不是/2。因为右移运算是向下取整，而整数除法是向零取整，在二分值域包含负数时后者不能正常工作

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整数域上二分

1. mid在期望答案的右边（mid大）

int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

2. mid在期望答案的左边（mid小）

• 缩小范围时，l=mid，r=mid-1，中间值mid=(l+r+1)>>1，如果中间值取mid=(l+r)>>1，则当r-l=1时，有mid=(l+r)>>1=l，接下来若进入l=mid分支死循环；若进入r=mid-1分支，造成l>r，循环不能以l=r结束。

int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

3. 处理无解情况：

因为mid = (l+r)>>1不会取到r这个值，mid = (l+r+1)>>1不会取到l这个值
把[1,n]扩大为[1,n+1]和[0.n]，把a数组的一个越界下标包含进来，如果最后二分终止于扩大后的这个越界下标上，则a中不存在所求的数。

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实数域上二分

一般保留k位小数时，取$eps=10^{-(k+2)}$

while (l+1e-5 < r)
{
	double mid = (l + r) / 2;
	if (calc(mid)) r = mid;
	else l = mid;
}

或者直接使用固定次数的二分，精度会更高，但容易超时

for (int i = 0; i < 100; i ++)
{
	double mid = (l + r) / 2;
	if (calc(mid)) r = mid;
	else l = mid;
}