【搜索】洛谷1219 or USACO1.5八皇后问题

题目链接：洛谷1219

题目描述

一个如下的 6×6 的跳棋棋盘，有六个棋子被放置在棋盘上，使得每行、每列有且只有一个，每条对角线（包括两条主对角线的所有平行线）上至多有一个棋子。

上面的布局可以用序列 2 4 6 1 3 5 来描述，第 i 个数字表示在第 i 行的相应位置有一个棋子，如下：

行号 1 2 3 4 5 6

列号 2 4 6 1 3 5

这只是棋子放置的一个解。请编一个程序找出所有棋子放置的解。
并把它们以上面的序列方法输出，解按字典顺序排列。
请输出前 3 个解。最后一行是解的总个数。

输入格式

一行一个正整数 n，表示棋盘是 n×n 大小的。

输出格式

前三行为前三个解，每个解的两个数字之间用一个空格隔开。第四行只有一个数字，表示解的总数。

输入输出样例

输入 #1

6

输出 #1

2 4 6 1 3 5
3 6 2 5 1 4
4 1 5 2 6 3
4

说明/提示

【数据范围】
对于 100% 的数据，6≤n≤13。

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 1.5

题解：

还是一个经典的问题。N皇后问题中最著名的要数八皇后问题，它有92组解（棋盘的镜面、旋转等均算作不同解）。

算法自不必说，一定是搜索。而且根据皇后的攻击特点可知，棋盘中一行只能放一个皇后，因此我们可以按照行数作为深度进行DFS。那BFS呢？理论上来说可行，但由于它搜索树中一个节点所需要保留的数据较多，因此用BFS很复杂，在这里不予讨论。

确定采用DFS后，一个很重要的问题就是：如何判断皇后放置的位置可行与否呢？

我给出两种方法，也是我的思考过程。

第一种方法，直接记录棋盘，在放置皇后的时候，排查它的攻击范围内是否已有皇后（只需向上，左上和右上排查），写起来十分简单，但也有不足——n=13时会TLE。先给出代码供各位参考。

代码1（直接记录棋盘）：

#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=30;
int n,cnt;
bool board[maxn][maxn];//1 有皇后 0 无皇后
bool possible(int x,int y){
	for (int i=1;i<=x-1;i++)//向上排查
		if (board[i][y]) return false;
	for (int i=1;i<=x-1;i++)//向左上 向右上排查 
		if ((y-i>0 && board[x-i][y-i]) || board[x-i][y+i]) return false;
	return true;
}
void print(){
	cnt++;
	if (cnt>3) return ;
	for (int i=1;i<=n;i++)//输出答案 
		for (int j=1;j<=n;j++)
			if (board[i][j]) printf("%d ",j);
	printf("\n");
}
void DFS(int line){
	for (int i=1;i<=n;i++)
		if (possible(line,i)){//判断是否合法
			if (line==n) board[line][i]=true,print(),board[line][i]=false;
			else {
				board[line][i]=true;
				DFS(line+1);
				board[line][i]=false;//记得要清除标记
			}
		}
}
int main(){
//	freopen("queen.in","r",stdin);
//	freopen("queen.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	DFS(1);
	printf ("%d",cnt);
	return 0;
}

这种方法TLE的原因主要在于possible函数。随着n的增长，这个函数被执行的次数随之飞速增长，那么我们是否可以快速判断呢？

有。在放置每一个皇后时，令该皇后占领其所在的列，左右斜线，即设置三个数组记录这些信息，在查询时就可以做到O(1)。记录列很简单，那如何记录左右斜线呢？不妨将棋盘放到坐标系里来考虑，让每一个皇后占领一条y=x+b1和一条y=-x+b2的直线，这时只需要记录b1和b2即可。易得，b1=y-x，b2=y+x，但考虑到y-x可能小于0，因此不妨记录b1=y-x+n，同时数组开大（二倍）。

代码2（记录列、左右斜线）：

#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=30;
int n,cnt;
int ans[maxn],col[maxn],slaa[maxn],slab[maxn];
bool possible(int x,int y){
	if (col[y] || slaa[y-x+n] || slab[x+y]) return false;
	return true;
}
void print(){
	cnt++;
	if (cnt>3) return ;
	for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",ans[i]);
	printf("\n");
}
void DFS(int line){
	for (int i=1;i<=n;i++)
		if (possible(line,i)){
			ans[line]=i,col[i]=1,slaa[i-line+n]=1,slab[line+i]=1;
			if (line==n) print();
			else DFS(line+1);
			col[i]=0,slaa[i-line+n]=0,slab[line+i]=0;
		}
}
int main(){
//	freopen("queen.in","r",stdin);
//	freopen("queen.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	DFS(1);
	printf ("%d",cnt);
	return 0;
}